je comprends la question, c'est déjà ça

mais je ne vois pas du tout comment résoudre, mes cours de maths datent un peu trop

$$f(x)^2=f(x^3)$$
$$g(x)^3=g(x^2)$$
Je pose la question à mon ami Wolfram:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=f% … f%28x^3%29

f(x) = e^(c*2^((log(log(x)))/(log(3))))

http://www.wolframalpha.com/input/?i=g% … g%28x^2%29
g(x) = -e^(c*3^((log(log(x)))/(log(2))))

Tout ça n'est défini que sur $]1,\infty[$.

Je vérifie avec mon tableur.

Avec:
$$f(x)=e^{c*2^ {\frac{log(log(x)}{log(3)}}}$$
et
$$g(x)=e^{c*3^{\frac{log(log(x)}{log(2)}}}$$
Pour: c= 1,5295923285...

on a bien $fog(x) = x^2$ et $gof(x) = x^3$.

On peut ajouter f(0) = 0, f(1) = 1, g(0) = 0 et g(1) = 1

Sur $]0,1[$, on pose $y = 1/x$
$$f(x) = 1/f(y) g(x) = 1/g(y)$$
et on a fini sur $R+$

Une petite ruse de signe doit permettre de conclure sur $R$.


Je n'aurai pas trouvé à la main.

Bonne réponse de scrablor ( claire et concise ) !!!

Le réponse de Papiauche semble bonne aussi ( je n'ai pas vérifié ) mais il ne faut pas espérer la prolonger à $\mathbb{R}$ tout entier .

Je sais par contre qu'il existe deux fonctions définies sur $\mathbb{R}$ avec $f\circ g=x^2$ et $g\circ f = x^4$  .

En tout cas merci à tous les deux ( et aux autres ) pour la participation )

Vasimolo