je comprends la question, c'est déjà ça

mais je ne vois pas du tout comment résoudre, mes cours de maths datent un peu trop

[TeX]f(x)^2=f(x^3)[/TeX]
[TeX]g(x)^3=g(x^2)[/TeX]
Je pose la question à mon ami Wolfram:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=f% … f%28x^3%29

f(x) = e^(c*2^((log(log(x)))/(log(3))))

http://www.wolframalpha.com/input/?i=g% … g%28x^2%29
g(x) = -e^(c*3^((log(log(x)))/(log(2))))

Tout ça n'est défini que sur [latex]]1,\infty[[/latex].

Je vérifie avec mon tableur.

Avec:
[TeX]f(x)=e^{c*2^ {\frac{log(log(x)}{log(3)}}} [/TeX]
et
[TeX]g(x)=e^{c*3^{\frac{log(log(x)}{log(2)}}}[/TeX]
Pour: c= 1,5295923285...

on a bien [latex]fog(x) = x^2 [/latex] et [latex]gof(x) = x^3[/latex].

On peut ajouter f(0) = 0, f(1) = 1, g(0) = 0 et g(1) = 1

Sur [latex]]0,1[[/latex], on pose [latex]y = 1/x[/latex]
[TeX]f(x) = 1/f(y)
g(x) = 1/g(y)[/TeX]
et on a fini sur [latex]R+[/latex]

Une petite ruse de signe doit permettre de conclure sur [latex]R[/latex].


Je n'aurai pas trouvé à la main.

Bonne réponse de scrablor ( claire et concise ) !!!

Le réponse de Papiauche semble bonne aussi ( je n'ai pas vérifié ) mais il ne faut pas espérer la prolonger à [latex]\mathbb{R}[/latex] tout entier .

Je sais par contre qu'il existe deux fonctions définies sur [latex]\mathbb{R}[/latex] avec [latex]f\circ g=x^2[/latex] et [latex]g\circ f = x^4[/latex]  .

En tout cas merci à tous les deux ( et aux autres ) pour la participation )

Vasimolo