Il n'y a pas beaucoup de réponses, je ne dois pas être le seul à patauger dans des démonstrations un peu fumeuses... mais bon, j'amorce la pompe pour faire réagir Vasimolo et récupérer un p'tit indice...

J'ai pensé à une démonstration par récurrence :
pour n=1 : c'est évident.
pour n=2 : les territoires possibles sont ... les pièces de Tétris que l'on peut toutes former par 2 dominos de tailles 1 et 3 ou 2 et 2.

Pour n>= 3, on suppose que la propriété est vraie pour n-1.
Je vais tenter de montrer que l'on peut toujours couper le territoire Tn de taille 2n en 2 territoires de taille paire.

1. On recherche sur le territoire une case C1 n'ayant qu'un coté adjacent avec le reste de Tn.
1. Si on en trouve une. On identifie C2 la case adjacente.
1.1. : si on retire le domino C1-C2 et que le reste des case de Tn forment un seul territoire, celui-ci est de taille 2(n-1) : c'est bon.
1.2. si on retire C1-C2 et que le reste des cases forme 3 territoires : l'un de ces territoires est de taille paire, donc lui et le reste de Tn est un découpage recherché.
1.3. si on retire C1-C2 et que le reste des cases forme 2 territoires, T1 et T2 (on notera T1 le plus grand)
1.3.1. Si T1 est de taille paire, T1 et le reste de Tn est un découpe recherché.
1.3.2. Si T1 est de taille impaire, ....

et je suis obligé d'arrêter car j'ai trouvé un T4 que je ne peux pas découper en 2 territoires pairs :


La récurrence imaginée n'est donc pas valable !

Ou alors, il faut envisager les territoires impaires,
montrer qu'un territoire impair de taille 2n+1 se pave de au plus n+1 dominos (facile territoire pair à 2n + 1 case).
puis montrer que si un découpage de Tn n'est possible qu'avec 2 territoires impairs (2p+1) et (2q+1) alors à la frontière des 2, on pourra trouver des dominos alignés qui pourront n'en former qu'un sur Tn qui aura en tout p+1+q+1-1=p+q+1=n dominos...

Y'a plus simple ????!!!

Je propose une démonstration par récurrence.

Cas 1
2 cases seulement sont par définition adjacentes et peuvent être ici facilement couvertes par un traditionnel domino 1x2.

Cas n → n+1
Soit un labyrinthe (ou parcours erratique) contenant 2n cases comme décrit dans l’énoncé. On suppose que les 2n cases puissent être couvertes par n dominos du type 1xk. Deux cases sont ajoutées au parcours formant un parcours de 2(n+1) cases.



Si ces cases sont adjacentes (Ex1), elles peuvent être recouvertes par un domino 1x2 et le nombre total de dominos est n+1

Si les cases ne sont pas adjacentes, plusieurs cas existent en fonction de la case de connexion ; j’appelle case de connexion une case existante du parcours à laquelle est connectée une nouvelle case :
- Une des deux cases de connexion est 1x1 => elle devient 1x2 et un domino 1x1 est ajoute => n+1 dominos
ou
- Les 2 cases de connexion appartiennent à des dominos d’une longueur de deux cases ou plus (1xk avec k>1).
  - L’une des cases ajoutées est dans l’axe (Ex2). Le domino de connexion 1xk
    devient 1x(k+1) => n+1 dominos
  ou
  - Les deux cases ajoutées sont sur le coté de dominos 1xk (Ex3a ou Ex3b). Dans ce cas, les deux cases ajoutées peuvent former un domino 1x2 avec leur case de connexion. Le parcours d’origine moins les 2 cases de connexion est donc de 2(n-1) cases et, par définition, peut être recouvert par (n-1) dominos ce qui donne un total de (n+1) dominos pour couvrir 2(n+1) cases. CQFD

A la relecture je me rends compte que dans le cas ou les cases ajoutees ne sont pas adjacentes alors on peut directement appliquer le raisonnement de la derniere hypothese ce qui fait une demonstration beaucoup plus courte.

Voici ma démonstration très peu mathématique, mais je pense assez explicite !
Spoiler : [Afficher le message] Appellons "case isolée" une case qui n'en touche qu'une seule autre. On peut techniquement rassembler toutes les cases en groupement de 4 ou de deux ! Pour les cases qui touchent au moins deux cases non isolées, c'est facilement compréhensible ! Pour les autres, imaginons toutes les possibilités :
- une case qui touche une case isolée : on obtient alors une forme en L, en Z ou en T (que nous verrons plus tard).
- une case qui touche deux cases isolée : on obtient une forme en T avec deux cases pour la barre verticale
- une case qui touche trois cases isolée : on obtient une forme en T aussi !
Prenons donc ces groupements séparément : un groupement de 2 cases n'a besoin que d'un domino ( logique !). Pour les groupements de 4, il existe 4 formes différentes :
-une forme en "T" (c1, c2, c3, d2), dans ce cas, on peut mettre un domino de 3 cases sur la ligne des c et un domino "monocase" en d2
-une forme en "Z" (c1, c2, d2, d3) (Ce n'est pas vraiment un Z, j'avoue...). Dans ce cas, deux dominos, un en c, un en d, suffisent
-une forme en I (c1 à c4) qui n'a pas besoin d'être détaillée...
-une forme en L (c1, c2, c3, d3) composé d'un domino pour les 3 et d'un domino pour c1 et c2
Dans ce cas, on voit bien que chaque groupement de 2 ou de 4 cases pris séparément n'a besoin que de 1 ou 2 dominos, soit la moitié du nombre de cases ! Donc chaque groupement de cases en nombre paire peut etre recouvert par un nombre de domino deux fois plus petit ! CQFD !

Moi je me pose la question du "domino", qu'appelles-tu un domino?

Merci car pour moi un domino est fait de 2 cases, comme pour ton énigme avec les points à jouer alternativement.

ça devient vraiment compliqué ces histoires de dominos