T'es sûr ?

Vasimolo

C'est bon pour le minimum Gwen

Il y a mésentente sur la deuxième partie de la question , on retourne le jeu en "n" coups , donner toutes les valeurs possibles de "n" .

Vasimolo

Oups, j'ai répondu à "combien de coup pour finir le travail"
Bref, avec les 3 premiers, ça fait 6.

La règle est que chaque case doit avoir un nombre de retournement impair.
Je réfléchi pour la suite.

Postes-en une pour voir...

Arrête un peu ! Choisir une case une ou trois fois , aucune fois ou 2 fois, est idem. J'attends de te voir proposer une solution impaire pour dire que je n'ai pas compris le problème.

Sinon, je te fais tous les pairs de 4 à ..... une solution impaire est impossible sinon, elle ferait partie des 16 .

Modulo 2 pour chaque case, c'est imparable, on raisonne en base 2 pour la première ligne. Dire que tu en as beaucoup plus, c'est dire je sais faire "+2"

Dire que tu en as plus, c'est dire que tu as une solution impaire ? Je ne pense pas.
Après, prouver que la solution doit être paire et dire pourquoi, c'est autre chose. mais mes 16 tests suffisent en l'occurrence.

Je viens de le faire...

Si on a une solution valide, toutes celles modulo 2 sur chaque case le sont.

S'il n'y en a que 16 avec des 0 et des 1 et qu'elles sont toutes de total pair, aucune solution de total impair n'est possible.

Salut Vasimolo,

le nombre de coups minimum est 4 : on retourne les pions de coordonnées (1;2), (2;4), (3;1) et (4;3). On ne peut pas faire mieux, car il y a 16 cases, et un coup retourne au plus 5 pions.

Les nombres de coups autorisés sont les nombres pairs >=4 : il est évident que ces nombres sont possibles, en jouant la même chose que ci-dessus, plus éventuellement un nombre pair de fois le même coup.

De plus, un nombre impair de coups ne serait pas possible : si on considère à nouveau les 4 pions de coordonnées (1;2), (2;4), (3;1) et (4;3), chacun des 16 coups possibles retourne exactement un de ces pions. Le nombre de pions noirs parmi ces 4 pions est donc pair après un nombre de coups pairs, et impair après un nombre de coups impairs.

A défaut de trouver l'astuce.....

On peut résoudre ce problème par de l'arithmétique modulo 2.
On numérote les cases de haut en bas et de gauche à droite (C1 à C4 en 1ère ligne en haut)
Chaque case a une valeur 0 ou 1, somme modulo 2 des variables échangées avec les voisines. Par exemple C1 = V1+V2+V5.

En posant que toutes les cases sont égales modulo 2 :

C1 = V1 + V2 + V5
C5 = V1 + V5 + V6 + V9

donne V2 = V6 + V9 (1)

C2 = C3 donne V1 + V6 = V4 + V7
C5 = C6 donne V1 + V9 = V2 + V7
qui donne V6+ V9 = V2 + V4. (2)

(1) et (2) implique V4 = 0
Par rotation, il en est de même pour V1, V13 et V16, c'est à dire les 4 cases d'angles.

Immédiatement, en reprenant C2 = C3, on a V6 = V7, et par rotation, V6 = V7 = V10 = V11.

En remplaçant les variables V7, 10, 11 par V6, et en supprimant les variables V1,4,13 et 16, on simplifie le systéme et on déduit :
V3 = V5, V2 = V8, V3 = V12, V8 = V15, V12 = V14, V5 = V14, V2 = V9.
égalités qui forment 2 quatuors de variables égales: {V3, V5, V12, V14} et { V2, V8, V9, V15}

En remplaçant V5, 12 et 14 par V2 et V8, 9, 15 par V2, le système n'a plus que 3 variables V2, V3, V6. Avec des cases V2+V3 et des cases V2+V3+V6.

On en déduit V6 = 0 et donc les 4 cases centrales.

Donc pour avoir l'égalité à 1 pour toutes les cases, seules peuvent être activées à 1 les cases du groupe {V3, V5, V12, V14} ou (exclusif) { V2, V8, V9, V15}.

En fait la solution tourne autour de cette figure mise en valeur par beaucoup :


Si on choisit les cases marquées d'une croix on solutionne le problème en 4 coups . Ensuite chaque coup retourne exactement un pion d'une des cases cochées et on ne peut retourner le jeu qu'avec un nombre pair de coups strictement supérieur à 2 .

Merci aux participants

Vasimolo

Il y a beaucoup de paramètres dans le système et vouloir épuiser tous les cas ou réduire le système à une succession de coup n'est assurément pas la meilleure solution . Après c'est facile à dire quand on a vu la position clé ( mais tu l'avais trouvé ) . Activer les quatre croix retourne l'ensemble du jeu et n'importe quel coup retourne un unique pion marqué d'une croix : on a la clef du problème

Vasimolo

Je ne sais pas si c'est l'unique solution mais on retourne tous les pions en choisissant les quatre cases d'angles et la case centrale .

Vasimolo

PS : on avait vu dans un vieux problème que si on pose un nombre quelconque de pions faces blanches visibles sur les cases que l'on veut d'un échiquier , alors on peut toujours faire apparaître la face noire de l'ensemble des pions en retournant certains pions avec l'ensemble de ses voisins .

Oui c'est ça Enigmatus.

La résolution du systèmes d'équations donne des solutions pour des couples de variables, des triplets, des quadruplets, ....
 
D'un point de vue pratique, ça n'aide pas beaucoup pour la recherche de tous les cas possibles. Enfin, perso, je n'ai pu m'en servir, mais il existe peut être une méthode qui permet de s'en sortir. Je n'ai pas assez approfondi le sujet.
La connaissance des relations obligées entre les variables nous aide t 'elle à trouver les solutions ? Ces relations nous disent ce qu'on ne peut pas faire, ce sont seulement des filtres.

Pour la grille 4*4, Gwen en a trouvé 16, mais par le jeu des symétries, ça fait nettement moins.