J'ai la solution : celui qui commence perd.

Démonstration :

Colorions l'échiquier, une case blanche au centre, celui qui commence vas des cases blanches vers les noires, l'autre va des cases noires vers les blanches. on remarque que celui qui ne commence pas ne peut pas perdre. Car quand son tour arrive , le mobile n'est pas dans un coin.

Puis, par récurrence :

Sur un 3x3 c'est clair.

Soit n un nombre impair. Supposons que sur un échiquier de taille (n-2) x (n-2), celui qui commence se retrouve forcément bloqué dans un coin au bout d'un moment.

Alors celui qui commence sera contraint de se déplacer vers le bord*, alors son adversaire l'amène tranquillement vers le coin qu'il faut et gagne alors la partie**

EDIT : * en effet si le joueur qui commence refuse d'aller sur le bord, l'autre fait comme si la partie se déroulait sur un plateau de (n-2)² cases et alors on arrive dans un coin et le premier joueur est contraint à se déplacer vers le bord.

** une fois sur le bord, on y reste jusqu'au coin. En effet, le deuxième joueur tourne à gauche de sorte que le bord soit à droite (selon la direction du mobile). Le premier joueur ne peut alors que continuer tout droit, le second joueur continue tout droit aussi, ... et ce, jusqu'au coin.

la parité du nombre de cases correspond bien, pour la même raison de cases blanches et noires

Un exemple de partie nulle : AADGADA...

Vasimolo