Il faudrait retourner 19 pions en tout pour y arriver.

Or j'ai un invariant dans ce problème : le nombre de pions rouges (ou blancs) du plateau est paire. En effet, a chaque retournement d'une ligne ou d'une colonne, je ne peux pas ajouter ou enlever un nombre impair de jetons rouges. Si j'avais x jetons rouges sur une ligne, j'en aurai 8-x après avoir retourné la ligne (ou la colonne). Je oeux donc soit perdre 8, 6, 4, ou 2 jetons, en gagner 8, 6, 4, ou 2 jetons, ou en avoir toujours le même nombre. Dans tous les cas, la parité du nombre de rouges ne change pas.

Comme il y a un nombre paire de rouges au début, en l'occurrence 0, il en est de même a tout moment.

Il est donc impossible d'arriver a la configuration ci dessus qui compterait 19 pions rouges :-)
Dommage !

Encore une fois, il faut trouver l'invariant.
Ici, on a : "Le nombre de cases blanches est pair, et le nombre de cases rouges aussi".

> C'est bien le cas au début
> Sur chaque ligne ou colonne que je retourne, il y a un nombre B de blancs au départ, et 8-B rouges du coup. Après retournement, j'obtient 8-B blancs et B rouges. Le nombre Nb de blancs total passe alors à Nb -B + 8-B = Nb + 8-2b, dont la parité ne change pas. Pareil pour les rouges.

Ce n'est pas le cas à la fin (19 rouges), donc pas la peine d'essayer...

Mon coup de "exactement deux jetons" va dans ce sens. Peux-tu néanmoins me dire si mon explication te paraît compréhensible, et dans ce cas, si elle te paraît juste ? Merci

La réponse est "Oui c'est possible". Voici les retournements à effectuer
Ligne 1: 1, 3, 4, 5
Ligne 2: 3, 7, 8
Ligne 3: 1, 4, 5, 6
Ligne 4: 1, 2, 5, 6
Ligne 5: 3, 7, 8
Ligne 6: 1, 3, 4
Ligne 7: 2, 5
Ligne 8: 2, 5

"Simple" système de 64 équations booléennes à 64 inconnues

En effet : je considère le pion (a,b), les 15 opérations de retournement sur les pions (a,i) et (j, b) nous donne le même tableau qu'au départ avec pour seul pion retourné le pion (a,b).

Il est donc possible de retourner n'importe quel pion sans modifier les autres, et du coup de réaliser cette figure (ou n'importe quelle autre d'ailleurs)

hummm, si on retourne une ligne ou une colonne, on retourne 8 cases, donc le nombre restera toujours paire, ce n'est donc pas possible.
si on retourne le deux, alors en "activant" les 15 cases de la lignes et la colonne de se point, tous les points de l'échiquier sont touché un nombre paire de fois (8 fois sur la lignes/colonne, et 2 fois les autres) sauf le points central qui est touché 15 fois.

en gros on ne retourne que 1 point, celui voulu, partant de la on peut bien faire la figure que l'on veut !

Étudions le cas général.

Soit un rectangle a lignes , b colonnes.
Soit Li l'opérateur qui modifie la ligne i.
Soit Cj "      "        "     "        "   "    j.
Tous dessin correspond à une suite d'opérateur : Li..CJ..Lk.
On vérifie que l'ordre n' a pas d'importance (commutativité), et que chaque opérateur est unique ( car deux fois le même opérateur revient à l'opération nulle).
Soit une suite quelconque d'opérateur O=Li...Cj...    l le nombre d'opérateurs Li et c le nombre d'opérateurs Cj.

Lorsqu'on étudie le dessin constitué avec la suite d'opérateur O on remarque que pour chaque ligne le nombre de carrés blancs est égal soit à    b-c     soit   à    c.

de même pour les colonnes, le nombre de carré blanc est soit  a-l  ou  l  .

Sur le dessin on vérifie que les lignes  ont 4, 5 ,6 carrés blancs. donc on ne peut pas faire ce dessin avec les opérateurs Li et Cj.


Cette condition est nécessaire mais pas suffisante.
Prenons les  lignes qui comptent  b-c carrés blancs. Ceux ci forment une famille FL(b-c). De même les carrés blancs des lignes qui comportent c carrés blancs forment la famille FL(c). Nous faisons de même pour les colonnes .
nous avons aussi les familles FC(a-l) et FC(l).
La condition nécessaire et suffisante pour réaliser un dessin dans le rectangle est  que la famille FL(b-c) soit confondue avec une des deux familles FC(a-l) ou FC(l) et la famille FL(c) avec l'autre famille FC(l) ou FC(a-l)

Retourner tous les éléments de la ligne et de la colonne d'une case n'est pas équivalent à retourner tous les éléments de la ligne de la case puis tous les éléments de la colonne de la case

Vasimolo

Grrr... à mon tour de mériter une fessée déculottée J'ai pas cru que c'était possible et j'ai regretté ne pas avoir un jeu d'othello sous la main.

Heureux de voir que ce problème vous a plu et je vous renvoie à la solution de Dylasse qui est la mienne à peu de choses près

Merci pour la participation et n'hésitez pas à demander un peu de rab de temps si le besoin s'en fait sentir , je ne me rend pas toujours compte de la difficulté

Je suis moi même très lent

Vasimolo

Si j'avais cru que c'était possible, j'aurais sûrement pensé à un moment où à un autre à chercher à retourner un seul pion, après c'est une question de temps et de penser au bon truc au bon moment

Ne change rien, c'était parfait !