Si j'ai bien compris le problème: on partage le carré de coté impair en 2 zones, dont aucune ne doit avoir 2 cases de largeur ?

Quelques conjectures en vrac :

Il semblerait que chaque ver dessine un serpentin qui s'enroule sur lui-même toujours dans le même sens (sauf exceptionnellement dans un coin comme le ver vert de ton exemple).

Dans un enroulement, il y a des lignes/colonnes impaires pour l'un des vers et des lignes/colonnes paires pour l'autre, mis à part sur le bord éventuellement.

Les enroulements "convergent" vers le centre.

Bon de là à démontrer tout ça...

Voila comment je m'y prendrais.
D'abord, j'observe la couleur des cases de la rangée extérieure (R1). A priori, on peut alterner comme on veut, mais on ne peut avoir 1 seule couleur, sinon boucle.
Ensuite, on découvre la seconde rangée R2. Toute case de R2 accolée à sa voisine de R1 est de couleur différente. On n'a donc pas beaucoup de choix, sauf à l'endroit des alternances sur R1: on est obligé de privilégier une continuité de couleur avec R2. Cette contrainte amène immédiatement un constat: c'est sur la rangée R1 qu'on trouve obligatoirement une extrémité de chacun des vers.
2ème constat: Sur R1, une seule alternance est possible. S'il existait plus de 2 segments, alors il y aurait un ou des segments isolés.

Une fois qu'on a décidé ou se faisait le départ de chaque ver, la construction des rangées R3, R4, ...n'est plus que du remplissage, on n'a aucun choix.
Et donc l'histoire se termine au centre. Se termine bien ou se termine mal.
Si on a pris une extrémité de ver en dehors d'un angle de R1, alors ça se termine mal. Si on a pris les extrémités de ver dans un angle de R1, ça se termine bien. En fait, il faut que la boucle des vers soit convexe, sinon ça va se terminer au mieux en queue bifide.

Il est à noter qu'un rectangle de largeur impaire >1, on saura le remplir avec les 2 vers et ça se terminera à l'une des 2 cases à égale distance des 3 cotés proches.

il est aussi à noter qu'on peut remplir un assemblage de rectangles impairs de même largeur mis bout à bout, comme des dominos. Leur longueur importe peu, du moment qu'il sont plus longs que larges.

Il est aussi à noter que des figures autres peuvent être remplies par nos 2 vers, par exemple des polygones avec un trou au milieu. A condition d'avoir une forme identique pour le polygone extérieur et le polygone intérieur, et une largeur constante.

Je n'affirme pas vraiment, Vasimolo, je raccourcis seulement, pour ne pas avoir à tout écrire. C'est assez basique à vérifier, si on suit exactement la démarche.

Bon , il faut lire entre les lignes: l'un prend sa source exactement dans l'angle, l'autre est juste voisin.  ça revient à dire que les 2 boucles sont parallèles et convexes. Exactement comme dans ton exemple, la case verte de l'angle pouvant très bien être remplacée par du rouge.

Pour illustrer l'approche de Nodgim



On peut compléter le premier dessin ( de façon unique ) mais pas le deuxième .

D'ailleurs je me demande si on peut caractériser facilement les traces sur la première couronne pouvant donner naissance à deux vers complets .

Vasimolo

Tiens, c'est drôle, en partant du centre je ne trouve pas ça aussi facile. En particulier, je n'arrive pas trop à construire le pourtour extérieur. Enfin, je veux dire que j'ai plusieurs options, et ça pourrait partir un peu dans tous les sens. Alors qu'en partant de l'extérieur, il n'y a pas de choix possible. ça me semble plus direct. Mais peut être quelque chose m'a échappé...