Le nombre de sphères n empilé sur p étages est donné par la relation :
[TeX]n=\sum_{\overset{i=k}{\text{k\in\mathbb{N}}}}^p p^2[/TeX]
Donc le nombre de sphères pour 10 étages est :
[TeX]n=\sum_{i=1}^{10} p^2[/TeX][TeX]n=385[/TeX]
Si on enlève les 4 étages supérieurs on a :
[TeX]n_{bonus_1}=\sum_{i=1}^{10} p^2-\sum_{i=1}^{4} p^2[/TeX][TeX]n_{bonus_1}=355[/TeX]


Allé on continu avec une pyramide tétraèdrique :

Nombre de sphère de l'étage [latex]P_j[/latex] est :
[TeX]n_{bonus_2}=\sum_{i=1}^{P_j} k[/TeX]
Donc pour 10 étages on a :
[TeX]n_{bonus_2}=\sum_{i=1}^{10} k + \sum_{i=1}^{9} k + \sum_{i=1}^{8} k + \sum_{i=1}^{7} k + \sum_{i=1}^{6} k + \sum_{i=1}^{5} k + \sum_{i=1}^{4} k + \sum_{i=1}^{3} k + \sum_{i=1}^{2} k + \sum_{i=1}^{1} k[/TeX]
[TeX]=55+45+36+28+21+15+10+6+3+1[/TeX]
[TeX]=220[/TeX]
pas assez de connaissances en sommes pour écrire avec la somme d'une somme.

Salut !

Le problème est assez simple si on commence par le haut :

Si on imagine visuellement la pyramide on voit (moi oui en tout cas ) que l'étage du dessous contient une ligne et une colonne de plus que l'étage du dessus.

D'ou : il faut 4 oranges pour 1 au dessus on aura donc :

1²+2²+3²+4²+5²+6²+7²+8²+9²+10²=385

[TeX]
\sum\limits_{k=1}^{10}k^2=\dfrac{10\times11\times21}{6}=\fbox{385}
[/TeX]
bonus :
[TeX]
\sum\limits_{k=1}^{10}k^2-\sum\limits_{k=1}^{4}k^2=\dfrac{10\times11\times21}{6}-30=\fbox{355}
[/TeX]
bonus 2 :
[TeX]
\sum\limits_{k=1}^{10}\left(\sum\limits_{i=1}^{k}i\right)=\sum\limits_{k=1}^{10}\left(\frac{k(k+1)}{2}\right)=\frac{1}{2}\sum\limits_{k=1}^{10}k^2+\frac{1}{2}\sum\limits_{k=1}^{10}k=\frac{1}{2}\times 385+\frac{1}{2}\times 55=\fbox{220}
[/TeX]

N=n(n+1)(2n+1)/6
n = 10 etages donne 10*11*21/6 = 385 oranges
les 4 etages superieures contiennent 30 oranges ce qui laiss 355 oranges pour les 6 premiers etages.

Pour une pyramide à base carrée à 10 étages, le premier est un carré de côté 10, le second un carré de côté 9, etc.

Une petite somme de carrés plus tard : 385 oranges.

En enlevant les quatre étages supérieurs : 355 oranges.

Avec une base triangulaire, sachant qu'un triangle de côté n contient 1+2+3+...+n=n(n+1)/2 oranges : 220 oranges avec tous les étages, 200 en enlevant les quatre supérieurs.