En effet, elle ne semble pas répertoriée sur Prise2Tete... Bien vu LOOping007.

Il s'agit du Problème de Freudenthal, l'unique solution est le couple (4,13), elle reste l'unique solution même si l'on sait seulement que la somme des deux nombres est inférieure à 1684 ! Très bonnes pages ici : http://interstices.info/jcms/c_33649/li … hal?part=1
Trouver cette solution est plus ou moins facile, mais prouver qu'elle est unique est bien plus ch....

J'en sais rien, mais, waow ! 48 énigmes en moins d'un mois !! Bravo à toi et bienvenue par ici !

Quand j'ai découvert ce problème, j'ai dû relire l'énoncé 3 ou 4 fois! Depuis, il est devenu classique et ses variantes sont nombreuses. Malheureusement, des solutions se trouvent un peu partout sur le Net.

Hum... mis à part que la première phrase de Pierre indique que les nombres ne sont pas premiers (puisque le premier truc qu'il a fait en voyant le produit, c'est certainement une décomposition en facteurs premiers), ce qui élimine certes 25 chiffres, je coince un peu.

Comment Stéphane avec la somme seule pouvait-il savoir que les nombres n'étaient pas premiers ? ("Je sais")
Je serais tentée de dire que c'est parce que la somme est un nombre impair, sauf que 2 entre en jeu. Et ça ne marche donc pas. Avec les nombres de 3 à 99, ça aurait pu le faire.
Que Stéphane ne les connaisse pas, veut donc dire pour sûr (mais peut-être pas exclusivement) que ce ne sont pas des couples aux extrêmes (2;3) ou (2;2) (ils peuvent être égaux d'ailleurs?), ou (98;99), etc.

Bref, il me manque quelque chose. Je continue mes recherches...

Il me semble tenir une solution à laquelle l'auteur n'avait peut-être pas pensé.

Admettons que la borne 2 soit inclue dans les nombres possibles et que les 2 nombres, tirés au hasard, peuvent être identiques..

Pierre connaît le produit P = 12 mais hésite entre 2 * 6 (S = 8) et 3 * 4 (S = 7).
   
Si Stéphane, avait la somme S = 7, soit 2 + 5 (P = 10)  ou 3 + 4 (P = 12),
il se dirait que si Pierre avait le produit P = 10, il aurait connu le couple (2-5),
et lui, Stéphane pourrait donc annoncer le couple (3-4).

Comme Stéphane dit ne pas connaître la solution, Pierre se dit que Stéphane a la somme 8,
qu'il a éliminé le couple (3-5) de produit P = 15 évident pour Pierre,
mais hésite encore entre (2-6) de produit 12 et (4-4) de produit 16, produits qui ne permettent pas à Pierre de conclure.

Pierre sait donc que le couple recherché est (2-6).

Quand Stéphane entend que Pierre connait la solution, il peut refaire le même raisonnement que lui et aboutir à la même conclusion.

ouf ...

Me suis- trompé dans mon raisonnement ?

après éliminations des produits non compatibles suivant les 2 premières affirmations on arrive à 18.
là seul 9 et 2 satisfont les 4 propositions
comme à priori la solution est unique c'est donc 2 et 9

Je connaissais ce problème avec comme solution 1 et 4.
Ici les 2 nombres doivent être plus grands que 2. Je vais devoir chercher...

Edit 1: 2 et 6? Je n'ai pas eu le temps de l'écrire et je l'ai fait dans la voiture en rentrant alors ce n'est sans doute pas ça mais d'ici à ce que j'ai le temps de l'écrire, je n'ai rien de mieux...

Edit 2: Je maintiens 2 et 6.
P=12 et S=8. Je numérote les 4 phrases de 1 a 4. Les 2 joueurs savent que les 2 nombres sont >= 2.

1. P voit 12. Il ne peut se décider entre (2,6) et (3,4).

2. S voit 8. Les possibilités a priori sont (2,6), (3,5) et (4,4).
(3,5) n'est pas possible car sinon P aurait vu 10 et aurait conclu. (2,6) et (3,4) sont encore possibles. Le produit est le même: 12 et ne permet en effet pas à P de conclure en 1. S le sait, c'est la première partie de la phrase et puisqu'il reste 2 choix, S ne peut pas conclure.

3. P qui hésitait entre (2,6) et (3,4) fait maintenant le raisonnement suivant. Si c'était (3,4) S aurait vu 7 et aurait hésité entre (2,5) et (3,4). Mais si c'etait (2,5) le produit aurait été 10 et j'aurais conclu en 1. Cela n'aurait pas pu être (2,5) et donc en 2. S aurait conclu que c'était (3,4). Or S n'a pas conclu en 2. Ce n'est donc pas (2,5). Il ne reste qu'une possibilité (3,4) et P peut donc maintenant conclure.

4. S suit maintenant le même raisonnement que P et peut lui aussi conclure.

Ces problèmes sont toujours aussi délicats.
Pour ceux qui les aiment, il y en existe un semblable EXTREMEMENT difficile qui a été donné l'an dernier en éliminatoires du championnat FFJM que je retranscrit ici:
18 - LA FARCE DU CONCIERGE 
Pierre et Serge sont deux mathématiciens que leur concierge tente
constamment de coller. Un 1er avril, ensemble, ils tombent nez à
nez avec lui.
J’ai  choisi  deux  nombres  entiers  entre  1  et  100  inclus,  dit  le
concierge.  Voici  leur  produit,  dit-il  à  Pierre  en  lui  donnant  le
papier.  Et  voici  leur  somme,  dit-il  à  Serge  en  lui  donnant  l’autre
papier. « Lequel de vous devinera-t-il ces nombres ? »
« Ce produit ne me suffit pas », dit Pierre.
« Je le savais », dit Serge.
Le  lendemain,  le  concierge  avoue  qu’il  a  inversé  les  papiers  :  en
vérité,  celui  donné  à  Pierre  mentionne  la  somme  des  nombres,  et
celui donné à Serge leur produit.
«  Hélas,  ce  produit  ne  me  suffit  pas,  mais  je  sais  que  Pierre  le
sait », dit Serge.
« Alors, j’ai deviné les nombres », dit Pierre.
« Moi aussi », dit Serge.
Quels sont, rangés dans l’ordre croissant, les deux nombres ?

Bonne chance...

Bravo aux bonnes réponses !
La réponse est 4 et 13, en voici la démonstration.


1/P ne peut pas déterminer les 2 nombres avec le produit qu'on lui donne, c'est donc que les 2 nombres ne sont pas 2 nombres premiers, car un produit de 2 nombres premiers a une décomposition unique.

2/S affirme qu'il savait que P ne pouvait pas conclure. Il aurait pu très bien affirmer ceci d'emblée, ce qui signifie qu'il est certain que les 2 nombres ne sont pas 2 nombres premiers. Il ne peut être certain de ceci que si sa somme S ne peut en aucun cas s'écrire comme la somme de 2 nombres premiers. On peut éliminer pour S ces cas-là, et donc S ne peut se décomposer comme somme de 2 nombres premiers.

3/On peut montrer aussi que la somme S < 55. En effet, supposons S>= 55.
S peut s'écrire alors S = 53 + (S-53), avec S-53>=2. Ce qui donne une valeur possible pour P qui est 53*(S-53). Comme P n'est pas le produit de 2 nombres premiers, S-53 n'est pas un nombre premier. S-53 a donc forcément un diviseur >= 2. Toute autre factorisation de P comporterait alors un terme >= 2*53. Ceci est interdit par l'énoncé, car les nombres sont inférieurs à 100.

4/S est même différent de 51, car 51=17+34, et 17*34 ne peut pas se décomposer autrement. Il existe donc une décomposition de 51 comme somme de 2 nombres dont le produit permet de trouver ces 2 nombres : impossible car S sait que ce n'est pas vrai.

Il ne reste plus qu'à lister les sommes possibles : les nombres non premiers, non sommes de nombres premiers, compris entre 5 et 50 au sens large.

Voici la liste de ces nombres :
S appartient à {11,17,23,27,29,35,37,41,47}

On peut associer les produits possibles à chacune de ces sommes possibles :

11 : 18,24,28,30
17 : 30,42,52,60,66,70,72
23 : 42,60,76,90,102,112,120,126,130,132
27 : 50,72,92,110,126,140,152,162,170,176,180,182
29 : 54,78,100,120,138,154,168,180,190,198,204,208,210
35 : 66,96,124,150,174,196,216,234,250,264,276,286,294,300,304,306
37 : 70,102,132,160,186,210,232,252,270,286,300,312,322,330,336,340,342
41 : 78,114,148,180,210,238,264,288,310,330,348,364,378,390,400,408,414,418,420
47 : 90,132,172,210,246,280,312,342,370,396,420,442,462,480,496,510,522,532,540,546,550,552

5/ P affirme maintenant qu'il connait les 2 nombres. Cela signifie qu'il peut, avec le tableau ci-dessus, déterminer S. Il possède donc un produit qui n'apparait pas dans au moins 2 lignes sommes différentes. Si c'était le cas, il ne pourrait pas conclure. Exemple : s'il possède le produit 30, la somme pourrait être 11 ou 17, et il ne saurait si les nombres sont (6,5) ou (15,2).

6/ Sachant cela, S peut éliminer les produits qui sont en double dans le tableau, ce qui donne ceci :
11 : 18,24,28
17 : 52
23 : 76,112,130
27 : 50,92,110,140,152,162,170,176,182
29 : 54,100,138,154,168,190,198,204,208
35 : 96,124,150,174,196,216,234,250,276,294,304,306
37 : 160,186,232,252,270,322,336,340
41 : 114,148,238,288,310,348,364,378,390,400,408,414,418
47 : 172,246,280,370,396,442,462,480,496,510,522,532,540,546,550,552

S affirme alors pouvoir conclure, cela signifie que pour sa somme, il ne lui reste plus qu'un seul produit disponible. Cela ne se vérifie que pour la ligne où S=17 et P=52.

D'où le résultat : 4 et 13. Ouf !!!


Je n'ai pas encore trop regardé la variante de rivas, la possibilité que les nombres étant égaux à 1 compliquant je trouve pas mal le résultat.
Du coup, je vais la poster, tiens

Pour ceux qui souhaitent s'exercer à ce type de problème, j'en ai dégoté un bien moins connu et qui est une vraie perle en son genre : http://www.prise2tete.fr/forum/viewtopi … 012#p96321

Spoiler : [Afficher le message] En cherchant bien, on en trouve la solution

T'as raison Shadock, j'ai enlevé deux mots qui étaient en trop :-)