1- (racine cubique de 4 )/10 = 84,12 %

"Il sait que sa réussite éventuelle est indépendante du nombre d'échecs précédents."

Il a 96 chances sur 1000 alors non ?

p  réussissent la première fois
(1-p)*p la seconde fois
(1 - p - (1-p)*p)*p la troisième fois

p - p^2 - (1-p)*p^2 =0,096

p- 2p^2 +p^3 -0,096 = 0

p^3 - 2 p^2 + p - 0,096  =0  ????

Après de multiples essais approximatifs, j'obtiens deux réponses possibles

60% de réussite possible au premier essai, réponse logique

Et par approximations successives, je trouve que 12,55437354...% de réussite marche aussi, mais c'est beaucoup plus irréaliste

127,4456 % étant une solution non acceptable pour ce qui est de la troisième racine.

Désolé, je ne sais faire ça que par dichotomie, donc je ne donne pas l'expression des racines.

Non, Franck.

bonjour,

je pense qu'il n'a aucune chance de le réussir à la 1ere fois car nous sommes en train de parler de la 3° fois, c'est donc qu'il a raté les 2 premières.

Je continue à reflechir quand même...
Cdt

P = 1 - racine cubique (96/1000) =0.54

60%.

vu que tu as dit que c'est indépendant des echec précedent ça doit être le même nombre non?
donc 96 pour mille

Appelons An l'événement : le permis est réussi à la nème tentative, et A l'événement : le permis va être réussi à la prochaine tentative, Bn l'événement : le permis est raté à la nème tentative, et B 'événement : le permis va être raté à la prochaine tentative.
On cherche à calculer p(A1)=p(A), et la donnée du problème est p(A3). On remarque que p(B)=1-p(A)

Prenons n=2.
Réussir son permis à la nème tentative est équivalent à rater son permis aux n-1 premières tentatives, et le réussir à la nème (avec des événements indépendants).
Comme les événements sont équivalents, rater son permis aux n-1 premières tentatives est équivalent à rater n-1 fois sa première tentative.
Donc p(An)=(p(B))^n * p(A)
p(An)=p(1-p)^(n-1) (encore vrai pour n=1).


On a donc 96/1000=p(1-p)^2, et en développant p^3-2p²+p-12/125=0

Une résolution par la méthode de Cardan par exemple, à la main, ou par un solveur, nous donne la valeur exacte (désolé, pas encore familier avec le Latex) :

p = (7+V33)/10 = 1,27... On trouve une probabilité supérieur à 1, ce qui n'est pas très normal, j'ai envie de dire ...

EDIT
Evidemment il y a 3 solutions possibles, c'est une équation de degré 3 en l'inconnue p ...

On peut essayer de trouver une solution rationnelle (au hasard, l'intuition, hein ...)

Soit p=n/m une solution de l'équation, avec n et m premiers entre eux.
alors 1000n(m-n)²=96m^3, et 125n(m-n)²=12m^3
On en déduit n|12 (Gauss), et de la même manière m|125.
Il ne reste plus qu'à tester toutes les possibilités : n vaut 1,2,3,4,6 et m=1,5,25,125
Je passe les détails, pour n=3 et m=5 on a une solution

D'où 3/5 est une solution au problème
En factorisant notre équation (je passe les détails encore), on arrive à :
(p-3/5)(p²-7p/5+4/25)=0

On obtient 2 solutions de plus en résolvant l'équation du second degré, dont une est supérieure à 1, et l'autre vaut (7-v33)/10


Il y a 2 solution au problème posé :
3/5 = 60%
(7-v33)/10 = 12,55%

ses chances d'obtenir le permis sont les mêmes à chaque coup. Il a autant de chance de l'obtenir au premier coup qu'au troisième coup. Je maintiens cette proposition en dépit de la réponse de SaintPierre. Je calcule maintenant cette valeur.

Appelons P cette probabilité. (disons 10% pour illustrer)
Les candidats se présentant a leur examen pour la troisième ont échoué leur premier examen à leur essai précédant:
Echec au premier essai: (1-P) ; 90% d’échec
Echec au premier et au second (1-P)(1-P) ; 90% des 90% ayant échoué au premier essai, c'est-a-dire 81%
Les chances d'obtenir le permis au troisième essai pour un candidat qui ne s'est pas encore présent à tout examen de permis: P(1-P)² ; soit 10% de nos 81% candidats qui ont déjà failli par deux fois.

Ici P(1-P)²=0.096 qui admet deux racines entre 0 et 1
P=60%
(1-P)=40% d’échec au premier essai
(1-P)²=16% d’échec au premier et au second essais
60% de nos 16%: p(1-P)²=0.96% de réussite au troisième essai, pour un candidat qui ne s'est pas encore présenté au moindre examen de permis.
ou
P=12.5544%
(1-P)=87% d’échec au premier essai
(1-P)²=76% d’échec au premier et au second essais
12% de nos 76%: p(1-P)²=0.96% de réussite au troisième essai, pour un candidat qui ne s'est pas encore présenté au moindre examen de permis.

Esperons que la valeur de 60% soit plus proche de la réalité
Excellent exercice, merci SaintPierre

Les bonnes réponses et les excellentes démonstrations commencent à tomber.

"Michel passe son permis. Il sait que sa réussite éventuelle est indépendante du nombre d' échecs précédents. On estime à 96 chances sur 1000 l'obtention de son permis du 3e coup, combien a-t-il de chances de le réussir du premier coup ?

soit on considère que les tentatives sont équiprobables, donc à chaque fois il a le même pourcentage de réussite, soit 96 pour mille ;

soit on considère qu'entre-temps, il a travaillé autant de tant et que donc à chaque fois il double sa chance de réussite ;
il a donc 96/1000 au 3ème essai
48/1000 au deuxième essai
29/1000 au premier essai