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#1 - 21-01-2011 22:16:00
- franck9525
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Puissnat cryptarithme
NOMBRE est formé de 6 chiffres distincts et non nuls. Il est divisible par N, par le carré OM et par le cube BRE. Quel est ce nombre?
question subsidiaire 1: Est-ce que la condition "chiffres distincts" est nécessaire pour avoir un résultat unique?
question subsidiaire 2: Est-ce que la condition "non nuls" est nécessaire?
The proof of the pudding is in the eating.
#2 - 21-01-2011 22:23:26
- Jackv
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Puissant cryptaithme
Je ne sait pas si il existe beaucoup d'autres solutions, mais en voici une très simple : 525125
Glup ! je crois que j'ai lu un peu trop rapidement la question : j'avais fait abstraction de la précision 'distincts' ( à moins qu'elle ait été rajoutée après ? mais j'avoue que j'ai sans doute été distrait ...)
Voilà au moins qui répond à la première question subsidiaire : OUI , on peut au moins trouver une solution avec des chiffres non distincts : 525125
Avec des chiffres distincts, il me faut quand même plus 5 minutes pour trouver une solution, au lieu de moins d'une minute précédemment : 349125
Pour la deuxième question subsidiaire, la réponse est OUI : 204008, 216008, 225008, 236008, 249008, 264008, 281008, 409008, 416008, 425008, etc ... seraient alors des solutions acceptables, sans compter toutes les solutions où on utilise des carrés ou/et des cubes de "1".
Bravo ! Trés joli problème.
#3 - 21-01-2011 22:32:21
- gwen27
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Puissant crypttarithme
Je n'ai pas (encore) trouvé, en fait pas cherché.... Mais je trouve que cette énigme, dans sa forme et son énoncé est excellente... J'adore l'idée. Reste à réfléchir un peu ...
349125 est le seul nombre qui répond aux conditions.
Divisible par 3, 49 (carré de 7) et 125 (cube de 5)
#4 - 21-01-2011 23:24:47
- MthS-MlndN
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Puissant cryptarthme
D'abord, on remarque que les cubes composés de trois chiffres distincts sont rares : 125, 216, 512, 729. Un peu plus de choix pour les carrés a deux chiffres : 16, 25, 36, 49, 64, 81.
- Si NOMBRE finit par 125, il est divisible par 125 quoi qu'il arrive. On n'a que 49 comme carré possible pour OM (on vire les pairs et ceux qui utilisent les chiffres 1, 2 ou 5), et NOMBRE est alors un multiple de 49*125 qui se termine par 125. Il est donc de la forme 49*125*(8k+1) soit 49000k+6125. Le seul de ce genre qui corresponde a ce qui est dit ci-avant est 349125, et il est divisible par 3.
- S'il se termine par 216, il faudra que NOM soit divisible par 27. Or 49 est le seul nombre possible pour OM, et aucun nombre de la forme 5OM n'est divisible par 27.
- S'il se finit par 512, il faudra que NOM soit divisible par 64, et 36 et 64 seront les deux seules valeurs possibles pour OM : deux conditions inconciliables.
- Il ne peut pas se finir par 729, car il faudrait que NOM fasse 729 lui aussi.
Donc 349125 est le seul nombre qui réponde aux critères donnés.
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#5 - 21-01-2011 23:50:54
- halloduda
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Puissant rcyptarithme
BRE est le cube de 5, 6, 8 ou 9 (7^3 = 343 est exclus) car B≥1. OM est le carré de 4, 5, 6, 7, 8 ou 9 car O≥1. Les chiffres devant être tous distincts, il reste peu de possibilités, à examiner une à une. La solution est 349125.
#6 - 22-01-2011 00:10:49
- phil0156
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#8 - 22-01-2011 01:05:34
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#9 - 22-01-2011 07:11:08
- Fireblade
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Puissant ryptarithme
Les cubes de trois chiffres différents sont 125 216 512 et 729. Pour les carrés il y a 16 25 36 49 64 et 81. Avec la combinaison des unités (tous les chiffres distincts) on trouve : 436125 736125 836125 936125 349125 649125 749125 849125 364125 764125 864125 964125 349216 549216 749216 849216 436512 736512 836512 936512 349512 649512 749512 849512 364512 764512 864512 964512 316729 416729 516729 816729 136729 436729 536729 836729 164729 364729 564729 864729 381729 481729 581729 681729
En regardant la divisibilité par BRE (moins fréquente donc plus élimination) il ne reste que les nombres finissant par 125 (cela doit se démontrer) : 125 436125 736125 836125 936125 125 349125 649125 749125 849125 125 364125 764125 864125 964125 Avec la divisibilité par OM on trouve un seul nombre qui marche : 349125 qui est fort heureusement divisible par 3.
La réponse est donc 349125 qui a des chiffres tous distincts et avec 349125=3x116375=49x7125=7²x7125=125x2793=5³x2793.
Je sais que ma démarche est plutôt bourrine et je ne sais pas s'il y a une méthode plus rapide mais cela a l'air de fonctionner ![smile](img/smilies/smile.png)
#10 - 22-01-2011 07:36:18
- franck9525
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pyissant cryptarithme
6 bonnes réponses depuis 23h00 bravo
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#11 - 22-01-2011 12:12:59
- Klimrod
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Puissant cryptarithm
Par programmation, j'ai trouvé 349125, divisible par 3, par 49 et par 125.
A noter que sauf erreur de ma part, la condition des chiffres tous différents est superflue.
J'ai tant besoin de temps pour buller qu'il n'en reste plus assez pour bosser. Qui vit sans folie n'est pas si sage qu'il croit.
#12 - 22-01-2011 12:36:32
- fred101274
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Puissnt cryptarithme
Je dirais 349125. N=3 O=4 M=9 B=1 R=2 E=5
349125 divisé par N = 116375 349125 divisé par OM = 7125 349125 divisé par BRE = 2793
OM = 49 (le carré de 7) BRE = 125 (le cube de 5)
Merci.
On n’est jamais très fort pour ce calcul...
#13 - 22-01-2011 13:01:27
- Barbabulle
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puissant cruptarithme
La paix dans le monde n'est pas menacée par les révoltés, mais par les soumis. Georges Bernanos
#14 - 22-01-2011 13:55:40
- L00ping007
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pyissant cryptarithme
Il n'y a qu'une seule bonne réponse : 349125.
BRE est un cube a 3 chiffres, donc il vaut : 125, 216, 343, 512, ou 729. On peut éliminer d'emblée 343 car tous les chiffres doivent être différents. Examinons les autres.
729 On doit avoir NOM729 divisible par 729, donc NOM000 (NOM x 1000). Et comme 1000 et 729 sont premiers entre eux, NOM doit être un multiple de 729 : impossible car NOM doit être différent de BRE. Donc pas de solution.
216 216 = 6^3 = 2^3 x 3^3. De la même manière, on doit avoir NOM divisible par 27. On cherche donc NOM multiple de 27 (donc de 9) avec OM carré, et chiffres différents de 0,1,2,6. Parmi les carrés à deux chiffres 16,25,36,49,64 et 81, seul 49 conviendrait. Or N49216 ne peut être divisible par 9 que si N=5, mais 549216 n'est pas divisible par 5. Donc pas de solution non plus.
512 512=2^9=8x64. Donc NOM x 1000 doit être divisible par 512 se traduit par NOM x 125 doit être divisible par 64. 64 et 125 étant premiers entre eux, NOM est un multiple de 64 : 128,192,256,320,384,448,512,576,640,704,768,832,896,960. Aucun ne convient car OM est un carré. Donc toujours pas de solution.
125 NOM125 est toujours divisible par 125, car 1000 est divisible par 125, donc cette condition est remplie. Les carrés possibles pour OM sont : 36,49 et 64. NOM125, impait, doit être divisible par OM, donc OM n'est pas pair. OM vaut donc forcement 49. Restent les valeurs 3,6,7,8. On teste ces 4 valeurs pour savoir si N49215 est divisible par 49, c'est possible uniquement pour N=3. Il n'y a donc plus qu'un seul espoir : 349125.
Vérifions ! 349125 / 3 = 116375 349125 / 49 = 7125 349125 / 125 = 2793
Parfait, NOMBRE = 349125 !
Questions subsidiaires 1/ La condition "chiffres différents" est nécessaire pour l'unicité, car 125125 est aussi solution (ainsi que 525125). En autorisant les 0, c'est encore pire : 101001, 101008, etc...
2/ C'est un peu plus délicat. Déjà, a-t-on le droit de donner la valeur 0 à O et à B ? Avec des chiffres tous différents ?
On va imposer les chiffres différents, car sinon on sait déjà qu'on a plusieurs solutions.
Si B et O ne peuvent pas prendre la valeur 0, alors on se ramène à l'étude précédente, où on ne se sert pas de la condition "chiffres différents de 0", donc une seule solution.
Si B peut prendre la valeur 0, BRE peut prendre les valeurs 027 et 064 027 : N16027, N36027, N49027, N64027 et N81027 ne conviennent pas quel que soit N différent des autres. 064 : N25064 et N81064 ne conviennent pas.
Si O peut prendre la valeur 0, OM peut prendre les valeurs 01, 04 ou 09. On élimine direct 729 pour BRE (voir démo du cas général), pareil pour 512 car on n'aurait pas OM carré. Reste 125 et 216. 01 : aucune possibilité sans répétition de chiffre 04 : on peut avoir N04125 ou N04216. On élimine direct N04125, car on n'aurait pas la condition divisible par 4. N04216 divisible par 216 implique N04216 divisible par 9, donc N=5, mais 504216 n'est pas divisible par 27. 09 : N09125 ou N09216. Dans le premier cas, on doit avoir N=1, mais répétition du chiffre 1. Dans le second, on doit avoir N=9, mais 909216 n'est pas divisible par 216.
Récap La condition "chiffres différents" est nécessaire pour avoir l'unicité. Dans ce cas-là, la condition "chiffres non nuls" est superflue, et l'unique solution est 349125
#15 - 22-01-2011 15:46:32
- franck9525
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puissant cryptarirhme
Suite aux nombreuses bonnes réponses issues de raisonnements variés mais toujours intéressants, il semble que les conditions initiales - distincts / non nuls - pourraient être superflues.
A la demande générale, j'ai donc rajouté deux questions subsidiaires.
The proof of the pudding is in the eating.
#16 - 22-01-2011 16:04:45
- racine
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puisdant cryptarithme
Allons-y: Pour OM les possibilités sont: 16, 25, 36, 49, 64, 81 Pour BRE: 125, 216, 343, 512, 729. On vire 343 car deux fois le chiffre 3. Il reste: 125, 216, 512, 729 Ce qui nous donne pour OMBRE les combinaisons suivantes en enlevant les cas où un chiffre se répète: 16729 36125 36512 36729 49125 49216 49512 64125 64512 64729 81729 NOMBRE étant divisible par OM on supprime les cas où M est pair et E impair. Il reste: 36512 49125 49216 49512 64512 81729 Pour chaque cas il y a 4 possibilités pour N, soit 24 candidats pour la réponse. Pour 49125 on enlève N=6 et N=8 car E est impair. De même, pour 81729 on enlève N=4 et N=6. Il nous reste 20 candidats et je ne vois pas d'autres possibilités que de les tester. C'est faisable à la main, mais peut-être ai-je oublié quelque chose.
#17 - 22-01-2011 17:35:58
- gwen27
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Pissant cryptarithme
Distincts est nécessaire : sinon, il y a d'autres solutions (525125 325125 125125 et 349125 )
La suppression de la condition Non nuls en rajoute encore : 101125 109125 301125 501125 et 901125. Cette condition n'est malgré tout pas suffisante car elle n'exclut pas les 4 premiers nombres.
On voit par contre qu'il n'y a pas de solution avec des chiffres nuls qui n'ait pas de chiffre en double.
Donc la condition distincts est nécessaire et suffisante pour une solution unique de 349125.
#18 - 24-01-2011 11:40:34
- Franky1103
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Puissant cryptairthme
Bonjour, J'ai un petit soucis avec ce problème, mais comme certains ont déjà trouvé la réponse, je dois certainement avoir tord. Mais voici: NOMBRE est au maximum égal à 999999 (et même moins puisque chiffres différents) et BRE est au minimum égal à 100 (et même plus puisque chiffres différents) et donc BRE^3 est au minimum égal à 1000000. Dans ces conditions, comment BRE^3 peut-il alors diviser NOMBRE ? A moins que B=0, ce qui est contraire aux hypothèses ? Bonne journée. Frank (moi c'est sans c)
#19 - 24-01-2011 13:09:18
- gasole
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Pissant cryptarithme
Par tâtonnements sur les diviseurs, je trouve une seule solution : 349125
J'avais pas vu les questions subsidiaires...
#20 - 24-01-2011 21:40:49
- franck9525
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Puissaant cryptarithme
Ouaou 14 bonnes reponses, les énigmes mathématiques ont la côte en ce moment.
Je viens de rajouter un peu de temps pour que les quelques personnes auxquelles j'ai envoyé un MP aient l’opportunité de répondre avec la satisfaction qui va avec.
The proof of the pudding is in the eating.
#21 - 25-01-2011 22:55:21
- franck9525
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puissant cryptarithmr
Bravo à tous.
Spoiler : [Afficher le message] Cette question vient du magazine Newscientist et a été librement adaptée et traduite.
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