On va donner du Pythagore !

Dans AEB : $1 + BE^2 = (1 + BD)^2$
Dans ABC : $(1+BD)^2 + BC^2 = (1+EC)^2$
Dans BCD : $BD^2+BC^2=1$
En notant BD=x :
$$BC=\sqrt{1-x^2} BE=\sqrt{x^2+2x}$$
Ensuite un petit coup de tangente en $\hat A$ :
$$tan(\hat A) = \frac{BE}1=\frac{BC}{AC}$$
alors $BE.AB=BC$, ce qui donne en remplaçant tout en fonction de x :
$$\sqrt{x^2+2x}(1+x)=\sqrt{1-x^2}$$
après simplifications :
$$x^3+3x^2+3x-1=0$$
Je pourrais faire appel à un solveur, mais faut être plus malin
Je remarque une quasi identité remarquable :
$$x^3+3x^2+3x+1-2=0 (x+1)^3=2 x=2^{\frac13}-1$$
(bon ok j'ai d'abord fait appel à un solveur pour me rendre compte de l'astuce )

Et donc $BD = 2^{\frac13}-1$

Quatre triangles rectangles pour quatre inconnues, on devrait s'en sortir, non ?

Alors :
$$(1+BD)^2 = 1 + BE^2 BE^2 = BC^2 + CE^2 BD^2 + BC^2 = 1 (1+CE)^2 = (1+BD)^2 + BC^2$$
Je remplace $BC^2$ par $1-BD^2$ grâce à la troisième équation :
$$(1+BD)^2 = 1 + BE^2 BE^2 = 1 + CE^2 - BD^2 (1+CE)^2 = (1+BD)^2 + 1 - BD^2$$
Je remplace $BE^2$ par $(1+BD)^2 - 1$ grâce à la première et je réagence tant bien que mal :
$$2 BD^2 + 2 BD = 1 + CE^2 (1+CE)^2 = 2 BD + 2$$
J'additionne les deux et je simplifie :
$$BD^2 + CE = 1$$
Je remplace $CE$ par $1-BD^2$ dans la deuxième :
$$(2-BD^2)^2 = 2 BD + 2$$
soit
$$BD^4 - 4 BD^2 - 2 BD + 2 = 0$$
Wolfram|Alpha me donne 0,511306 comme valeur approchée (l'expression exacte est atroce).

Il devait y avoir plus simple

Bonjour,
Je considère les 4 triangles rectangles suivants ABC, DBC, AEB et BEC et j'écris pour chacun d'eux le théorème de Pythagore (quoi ? encore lui ? mdr):
(1+CE)2 = (1+BD)2 + BC2
1 = BD2 + BC2
(1+BD)2 = 1 + BE2
BC2 = CE2 + BE2
On a 4 équations à 4 inconnus BD (qui m'intéresse), BC, BE et CE.
Après résolution (pourtant pas trop fastidieuse), je trouve:
BD = (racine cubique de 2) - 1 soit environ 0,25992
Bonne journée.
Frank

soit $\alpha$ l'angle en A
$$\rm AB=\frac{AE}{cos\alpha}=\frac{1}{cos\alpha} DB=sin(90-2\alpha)=cos2\alpha=2cos^2\alpha-1 AB=1+DB on note X=cos(\alpha) X^3=\frac{1}2 AB=2^{1/3}$$ $$\red \fbox{DB=2^{1/3}-1}[/latex][latex] \approx 0.26$$

Plus qu'1 heure pour résoudre cette énigme...

Je ressors l'artillerie de la géométrie analytique, dans le repère orthonormé (E,ECx, EBy), les points ont les coordonnées suivantes :
A(-1;0), E(0;0), C(xc;yc), B(0;yb) et D(xd;yd)

Les indications non encore prises en compte sont : DC=1 et AD=1 et D appartient à (AB) et ABC rectangle en B.

DC=1 : (xd-xc)²+yd² = 1
AD=1 : (xd+1)²+yd² = 1
D app (AB) : (xd+1) / (yd) = 1/yb
ABC rest B : (xd)²+(yd-yb)²+yb²+xc²=1

résoudre ce système de 4 équations à 4 inconnues est fasidieux....

Donc je change de méthodes, je fais du pythagore dans les 4 triangles rectangles : ABC, AEB, BDC et BEC

ABC : (BD+1)²+BC²=(1+EC)²
AEB : 1 + BE² = (BD + 1)²
BDC : BD² + BC² = 1
BEC : EC² + BE² = BC²

En remplaçant successivement BC, EB puis EC, on obtient :
BD^4+2BD^3+6BD²+2BD-1=0

Avec Excell (!!!), j'obtiens 0,26614 comme valeur approchée de BD.

Merci à tous d'avoir participé, bravo à tous ceux qui ont trouvé la bonne réponse: 

Mention spéciale à franck9525 qui a su éviter l'équation de degré 4