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Enigmes

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 #1 - 15-06-2011 14:55:38

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

n suite !

1/3 - 2/5 - chaque nombre à partir du troisième est égal au quotient du précédent augmenté de 1 par celui d'avant.

Quel est le 2010e ?


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.
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#0 Pub

 #2 - 15-06-2011 15:26:27

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1971

An suuite !

U1 = 1/3
U2 = 2/5
U3 = (2+5)*3/(5*1) = 21/5
U4 = (21+5)*5/(2*5) = 13
U5 = 14*5/21 = 10/3
U6 = (10+3)/(3*13) = 1/3
U7 = (1+3)*3/(3*10) = 2/5
On remarque donc que U1 = U6 et U2 = U7; donc U5p+q = Uq
U2010 vaut donc U5 = 10/3

 #3 - 15-06-2011 15:28:29

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

Ann suite !

Une promenade de santé pour scarta. smile


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #4 - 15-06-2011 15:40:43

Milou_le_viking
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 30
Messages : 446

A suite !

Si je ne me trompe pas la suite est périodique.

S(n) = [S(n-1)+1]/S(n-2)

D'où

1/3 - 2/5 - 21/5 - 13 - 10/3 - 1/3 - 2/5 - ...

Le 2010ème élément est donc 10/3.

 #5 - 15-06-2011 15:42:27

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

An suitee !

Tu ne t'es pas trompé, Milou... wink


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #6 - 15-06-2011 16:18:57

Autleaf
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 71
Lieu: Toulouse

An suit e!

J'ai compris la définition comme :
Un=Un1+1Un2[/latex]avecn>2Pardesessais,ontrouvequecettesuiteformeuneboucle:1/32/521/51310/31/32/5...Donclestermesdelasuitevalent:[latex]U1+5n=13U2+5n=25U3+5n=215U4+5n=13U5n=103
2010 = 0 mod(5) donc le 2010e terme est 10/3.

 #7 - 15-06-2011 16:29:43

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

an duite !

OK Autleaf !


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #8 - 15-06-2011 17:06:17

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 3230
Lieu: Luxembourg

An sute !

Bonjour,
C'est une suite cyclique assez marrante:
u(5k+1)=1/3; u(5k+2)=2/5; u(5k+3)=21/5; u(5k+4)=13; u(5k+5)=10/3
Et, puisque 2010 = 5 x 401 + 5, on aura u(2010)=10/3
Bonne journée.
Frank

 #9 - 16-06-2011 10:57:09

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

an suitz !

Vous avez tous de la suite dans les idées... lol

Bonne réponse, Franky !


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #10 - 16-06-2011 11:06:25

Milou_le_viking
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 30
Messages : 446

An ssuite !

Dans la mesure du possible, j'essaie d'avoir des idées pas trop périodiques, mais c'est pas toujours évident.

 #11 - 17-06-2011 16:43:58

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 495
Lieu: Ardèche

An usite !

Les premiers termes semblent confirmer la tendance à la convergence.

Si la suite converge, ce ne peut être que vers 1+\sqr521.618
racine positive de x²-x-1=0

On peut supposer qu'au bout de 2010 itérations, on n'en est pas très loin ?


EDIT
J'aurais dû aller plus loin dans les premiers termes.
La suite est périodique à 5 termes, elle ne converge pas.
Le 2010ème est 10/3=3.333...

 #12 - 17-06-2011 21:55:07

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

An suit !

Non, halloduda... il y a quelque chose que tu n'as pas vu. wink


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #13 - 18-06-2011 03:49:14

Kikuchi
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 46
Messages : 91

an duite !

Sympa comme énigme. smile

Calculons les premiers termes de cette suite:
U1=13U2=25U3=(25+1)×3=213=7U4=(213+1)×52=20U5=21×321=3U6=4×120=15U7=65×13=25U8=75×5=7U9=8×52=20
Tiens, on tourne en rond.

Un cycle de taille 5 à partir de U2.

Donc U2010=U5=3


There's no scientific consensus that life is important

 #14 - 18-06-2011 07:53:57

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

A nsuite !

On tourne bien en rond, mais ta réponse, Kikuchi, n'est pas bonne...


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #15 - 18-06-2011 09:04:26

NickoGecko
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1822

An sutie !

Bonjour

Nous avons donc selon l'énoncé, l'établissement d'une suite Un pour nN
définie par
U1=13U2=25Un+1=Un+1Un1[/latex]pour[latex]n3
Calculons les premiers termes :
U3=215U4=262=13U5=103U6=13U7=25
On remarque alors que :
U6=U1
et
U7=U2
Donc U2010=U5=103

(2010 congruent à 5 modulo 5)


Intéressant ce comportement "cyclique" !


Il aurait pu pleuvoir, con comme il est ! (Coluche)

 #16 - 18-06-2011 09:16:47

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

an duite !

Oui, Nicko !


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #17 - 18-06-2011 13:37:55

Kikuchi
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 46
Messages : 91

An suie !

Quel boulet je fais... roll

On reprends:
U1=13U2=25U3=215U4=13U5=103U6=13U7=25U8=215
Un cycle de 5 qui commence à U1.

Et donc U2010=U5=103.


There's no scientific consensus that life is important

 #18 - 18-06-2011 13:39:49

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
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Lieu: Annecy

ab suite !

Oui, cette fois, c'est bon ! wink


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #19 - 18-06-2011 13:40:00

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 3523
Lieu: 94110

zn suite !

On tourne bien en rond sur une série de 5.
Le 2010 devrait faire 10/3.
Amusant comme suite ... smile

 #20 - 18-06-2011 13:46:50

SaintPierre
Banni
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Messages : 2063
Lieu: Annecy

an suitz !

Idem, Jack !


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #21 - 19-06-2011 13:10:15

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

An suuite !

Tu vas rire : instinctivement, je pensais que cette suite avait une période de 4, et je n'arrivais pas a démontrer.

Je vais réessayer pour un cycle de 5...


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #22 - 19-06-2011 13:15:25

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

An suie !

Ca se fait tout seul. On appelle U la suite que tu décris :
Un+2=Un+1+1Un
Alors :
Un+5=Un+4+1Un+3=Un+3+1Un+2+1Un+2+1Un+1=Un+1Un+2×Un+3+Un+2+1Un+2+1=Un+1Un+1+1Un×Un+2+1Un+1+Un+2+1Un+2+1=Un+2+Un+2Un+1+Un+1+1Un+1(Un+2+1)×Un+1UnUn+1+1=(Un+2+1)(Un+1+1)Un+1Un(Un+2+1)(Un+1+1)Un+1Un+5=Un
A condition bien sûr qu'aucun terme soit nul, mais ça va de soi : si Un est nul, Un+2 n'existe pas, donc Un+5 n'existe que si tous les Uk pour kn+3 sont non nuls, lesquels ne peuvent exister que si, etc.

En gros, si on a réussi a arriver jusqu'a U5, on est tranquille pour la suite big_smile


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #23 - 19-06-2011 16:24:02

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

An site !

Voilà !


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.
 

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