U1 = 1/3
U2 = 2/5
U3 = (2+5)*3/(5*1) = 21/5
U4 = (21+5)*5/(2*5) = 13
U5 = 14*5/21 = 10/3
U6 = (10+3)/(3*13) = 1/3
U7 = (1+3)*3/(3*10) = 2/5
On remarque donc que U1 = U6 et U2 = U7; donc U5p+q = Uq
U2010 vaut donc U5 = 10/3

Si je ne me trompe pas la suite est périodique.

S(n) = [S(n-1)+1]/S(n-2)

D'où

1/3 - 2/5 - 21/5 - 13 - 10/3 - 1/3 - 2/5 - ...

Le 2010ème élément est donc 10/3.

J'ai compris la définition comme :
[TeX]U_n=\frac{U_{n-1}+1}{U_{n-2}}[/latex] avec n>2

Par des essais, on trouve que cette suite forme une boucle :

1/3 - 2/5 - 21/5 - 13 - 10/3 - 1/3 - 2/5 - ...

Donc les termes de la suite valent :
[latex]U_{1+5n}=\frac{1}{3}[/TeX][TeX]U_{2+5n}=\frac{2}{5}[/TeX][TeX]U_{3+5n}=\frac{21}{5}[/TeX][TeX]U_{4+5n}=13[/TeX][TeX]U_{5n}=\frac{10}{3}[/TeX]
2010 = 0 mod(5) donc le 2010e terme est 10/3.

Bonjour,
C'est une suite cyclique assez marrante:
u(5k+1)=1/3; u(5k+2)=2/5; u(5k+3)=21/5; u(5k+4)=13; u(5k+5)=10/3
Et, puisque 2010 = 5 x 401 + 5, on aura u(2010)=10/3
Bonne journée.
Frank

Dans la mesure du possible, j'essaie d'avoir des idées pas trop périodiques, mais c'est pas toujours évident.

Non, halloduda... il y a quelque chose que tu n'as pas vu.

On tourne bien en rond, mais ta réponse, Kikuchi, n'est pas bonne...

Oui, Nicko !

Oui, cette fois, c'est bon !

Idem, Jack !

Ca se fait tout seul. On appelle U la suite que tu décris :
[TeX]U_{n+2} = \frac{U_{n+1}+1}{U_n}[/TeX]
Alors :
[TeX]\begin{align} U_{n+5} &= \frac{U_{n+4}+1}{U_{n+3}} \\
&= \frac{\frac{U_{n+3}+1}{U_{n+2}}+1}{\frac{U_{n+2}+1}{U_{n+1}}} \\
&=\frac{U_{n+1}}{U_{n+2}} \times \frac{U_{n+3}+U_{n+2}+1}{U_{n+2}+1} \\
&=\frac{U_{n+1}}{\frac{U_{n+1}+1}{U_n}} \times \frac{\frac{U_{n+2}+1}{U_{n+1}}+U_{n+2}+1}{U_{n+2}+1} \\
&=\frac{U_{n+2}+U_{n+2}U_{n+1}+U_{n+1}+1}{U_{n+1}(U_{n+2}+1)} \times \frac{U_{n+1}U_{n}}{U_{n+1}+1} \\
&=\frac{(U_{n+2}+1)(U_{n+1}+1)U_{n+1}U_n}{(U_{n+2}+1)(U_{n+1}+1)U_{n+1}} \\
U_{n+5} &=U_n \end{align}
[/TeX]
A condition bien sûr qu'aucun terme soit nul, mais ça va de soi : si [latex]U_n[/latex] est nul, [latex]U_{n+2}[/latex] n'existe pas, donc [latex]U_{n+5}[/latex] n'existe que si tous les [latex]U_k[/latex] pour [latex]k \leq n+3[/latex] sont non nuls, lesquels ne peuvent exister que si, etc.

En gros, si on a réussi a arriver jusqu'a [latex]U_5[/latex], on est tranquille pour la suite