Bonjour,
Sans rien calculer, je sais que c'est le cercle. En effet, le cercle est la figure géométrique plane qui a le meilleur rapport surface / périmètre
(tout comme la sphère a le meilleur rapport volume / surface dans l'espace).
Bonne journée.
Frank

Edit: Je ne sais pas démontrer cela, mais pour maximiser la surface, on sent bien que chaque segment de périmètre doit se trouver le plus loin possible du centre de gravité, d'où le cercle.

en toute logique le cercle ... c'est pas pour rien qu'un ballon est rond quand on le gonfle.

C'est corrigé en minutes.

Coupons les aires selon les diagonales des figures (pour le cercle autant de diago que l'on veut) et ouvrons la figure (développons) pour mettre le périmètre en ligne droite, celui de plus forte hauteur est celui de plus grande aire (car à périmètre constant). L'aire est la moitié du produit du périmètre par la hauteur des triangles.

Il est bien connu qu'à perimètre constant c'est le cerle qui enferme la plus grande aire, c'est le problème isopérimètrique.

Voilà la démonstration que j'attendais. Parfait, snapy !

C'est le cercle, bien entendu, car c'est là qu'il perd le moins de place dans les angles!
Résolu en 10 sec!

- Début de la méthode bourrin -

- Pour l'héxagone régulier:

Je pose a, une arrête de l'hexagone régulier.

Aprés calcul, son aire vaut:

(racine de 3)/2 x 3 a²

- Pour le carré :

L'arrête du carré vaut:

6a/4 = 3/2 a

Son aire vaut:

9/4 a²

- Pour le triangle équilatéral:

L'arrête du triangle équilatéral vaut:

6a/3 = 2 a

Aprés petit calcul, sa hauteur vaut:

(racine de 3) x a

Son aire vaut:

(racine de 3) x a²

- Pour le disque:

Soit le rayon r, et son périmètre 2 x Pi x r.

On a 2 x Pi x r = 6 a

D'où r = 3a/Pi

Son aire vaut:

Pi x (3a/Pi)² = 9a²/Pi
                                             

On retrouve dans chacune des aires la variable a², que j'ignore. 

Je compare donc les quatre nombres suivants et qui correspondent à chacune des quatre aires:

(racine de 3)/2 x 3 [hexagone régulier]; 9/4 [carré]; (racine de 3) [triangle équilatéral]; 9/Pi [disque]

On détermine que:

(racine de 3) < 9/4 < (racine de 3)/2 x 3 < 9/Pi

Ce qui revient à:

aire du triangle équilatéral < aire du carré < aire de l'héxagone régulier < aire du disque

- Fin de la méthode bourrin -

D'instinct, le cercle.

Je ferai les calculs plus tard