Enigme Aire du rectangle maximum @ Prise2Tete

Nimzo · #1

A périmètre constant, comment montrer que l'aire d'un rectangle est maximum quand c'est un carré.

MthS-MlndN · #2

C'est un exercice d'un DM de maths de première ?

Facile : soit l et L les dimensions du rectangle. Le périmètre P = 2 (l+L) est fixé d'avance.

L'aire vaut A = L*l et il faut la rendre maximale.

P = 2 (l+L) donc l = P/2 - L

On veut donc que A = L (P/2 - L) = LP/2 - L^2 soit maximale. Cette fonction de L n'atteindra un maximum que si sa dérivée en fonction de L s'annule :

P/2 - 2L = 0 <==> L = P/4

La dérivée est positive avant cette valeur et négative après, donc on a bel et bien A maximum pour L=P/4.

Et comme P = 2(l+L) on obtient l = P/4 aussi.

CQFD.

LeSingeMalicieux · #3

Soit L la largeur du rectangle. Sa longueur est L+x, avec x>=0

Son périmètre P est :
P = 4.L + 2.x
donc : L = (P - 2.x) / 4

Son aire A est :
A = L.(L+x) = L² + L.x

On remplace L par (P - 2.x) / 4 :
A = ((P - 2.x) / 4)² + (P.x - 2.x²) / 4
A = (P² - 4.P.x + 4.x²)/16 + (P.x - 2.x²)/4
A = P²/16 - P.x/4 + x²/4 + P.x/4 - x²/2
[TeX]A = P^2/16 - x2/4[/TeX]
Le périmètre étant constant, on a donc A maximal avec x²/4 minimal.

x²/4 est minimal lorsque x est nul.
Donc l'aire du rectangle est maximale quand la différence entre la longueur et la largeur est nulle, soit la longueur égale à la largeur.

L'aire est donc maximale lorsque ce rectangle est un carré !

Merci beaucoup, un peu de maths ça fait du bien

gabrielduflot · #4

Soit p le périmètre d'un rectangle alors 2*(L+l)=p d'où L=(p-2l)/2

Donc l'aire d'un rectangle est égal à L*l=((p-2l)*l)/2

On étudie la foction f(l)=((p-2l)*l)/2 =p*l/2-l²
on va trouver le maximum de la fonction en trouvant la valeur qui annule la dérivée donc f'(l)=p/2-2l

f'(l)=O équivaut à p/2-2l=0 d'où l=p/4

donc puisque lim f(l)=lim f(l)= -inf
l->-inf l->+inf

donc le max est donné par l = p/4

On calcule L=(p-2l)/2=(p-2*p/4)/2=(p - p/2)/2=(p/2)/2=p/4=l

donc à périmètre constant le rectangle est un rectangle dont la longueur et la largeur sont les memes donc c'est un carré

cqfd

jeansayrien · #5

Hello ,
belle question .
Ne serait-ce simplement par le calcul d'extrema en calculant les valeurs annulant la dérivée premiere de l'équation de la surface ?

moaflorent · #6

P le périmètre, A l'aire, L la longueur du rectangler, l la largeur

P = (L +l)*2
A = L*l
= (P/2-l)*l

Pour que A soit maximum, il faut A'=0

A'= P/2-2l
donc A maximum pour P=4l

donc L = P/2-l = l ==> cas du carré

dododo · #7

Appelons x la longueur du rectangle, z sa hauteur, y sa surface et donnons nous un périmetre de 1, nous recherchons l'aire maximum.
On a: Périmetre=1=2(x+z), ce qui nous donne: z=1/2-x
Puis: Aire=y=x*z, soit y=x(1/2-x) soit y=x/2-x^2
Oh, le joli polynome !!! On n'a plus qu'à l'étudier ! Vite fait, bien fait, ça nous donne une dérivée qui s'annule en 1/4, d'où un maximum (1/4;1/16). Si le périmetre vaut 1, et la longueur 1/4, on a bien affaire à un carré !
Voilà, il doit y avoir des manières plus élégantes et plus simples de le démontrer, mais, bon, celle-la a l'air de marcher !

Bamby · #8

soit un carré de coté de longueur x son périmetre est donc : 4x,
tous rectangle ayant un perimetre de 4x est de la forme:
longueur : x+a, largeur x-a. (0 <= a < x)
cherchons dans quel cas l'aire du rectangle est supérieur à celle du carré, soit :
(x-a)(x+a) >x²
x²-a² >x²
-a²>0
ce qui est impossible. cqfd

Xiu · #9

carré :

Pc = 4x = Z (perimetre)
Ac = x² (aire)

rectangle :
Pr = 2(u+v) = Z (perimetre)
Ar = u*v (aire)

Ac > Ar ?
Ac = x²
or Z = 4x
==> Z² = 16x² = 16 Ac
==> Z = 4 Rac(Ac)

Pr = 2(u+v) = 4 Rac(Ac)
Rac(Ac) = (u+v)/2
Ac = (u+v)²/4
Ar = u*v

On suppose l'hypothese :
Ac > Ar
u²+ 2uv + v² > 4 uv
u² +v² > 2uv
u² - 2uv +v² > 0
(u-v)² > 0 est vrai car un carré est toujours positif

startimes2 · #10

[TeX]A=(x+y)*2 donc:y [/TeX]
[TeX]s=x*y=((A/2)-x)x=(A/2)x-x^2[/TeX]
[TeX]ds/dx=A/2-2x=0 implique x=y=A/4[/TeX]

inconnu98 · #11

bonsoir, je n'arrive pas a faire un exercice de maths .
l'énoncé est:
"déterminer les dimensions du rectangle qui a un périmètre de 21cm et l'aire la plus grande possible "
s'il vous plaît aider moi c'est urgent!!

gwen27 · #12

Bah t'auras pas ton BEPC,

golgot59 · #13

Je ne parle pas aux inconnu, même du 98, désolé

Promath- · #14

Tu aurais pu créer un topic, au moins, au lieu de parler sur un déjà créé...

godisdead · #15

Ce qui m'intrigue le plus, pourquoi poser une question alors qu'il y a la réponse sur cette même page !
Rien que l'énoncé de l'énigme repond à son problème !

Azdod · #16

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#1 - 19-04-2009 11:23:28

aite du rectangle maximum

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#2 - 19-04-2009 13:52:35

Airee du rectangle maximum

#3 - 19-04-2009 14:51:33

Aire du recctangle maximum

#4 - 19-04-2009 21:10:23

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#5 - 19-04-2009 21:45:07

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#6 - 20-04-2009 00:00:04

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#7 - 20-04-2009 17:41:06

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#8 - 20-04-2009 18:32:43

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#11 - 10-11-2012 21:46:03

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#12 - 10-11-2012 22:24:55

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#13 - 11-11-2012 03:41:23

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#14 - 11-11-2012 09:46:51

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#15 - 11-11-2012 11:23:58

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#16 - 11-11-2012 11:45:42

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