Bonjour,
Aire coloriée = 3 x Aire cercle - 4 x Aire demi-lentille
Or Aire demi-lentille = 1/4 Aire cercle - 1/4 Aire carré inscrit
Donc Aire coloriée = 2 x Aire cercle + Aire carré inscrit
avec Aire cercle = pi R² et Aire carré inscrit = 2 R²
Au final Aire coloriée = 2 (pi + 1) R²
AN: R = 1 donne A = 8,28 env.
Bonne journée.
Frank

Edit: Erreur de signe corrigée.

3 pi - aire des "rosaces" qui revient à pi - rac(2)^2

Soit 2 pi + 2 = 8,28...

Franky : Je n'ai pas trop bien compris ton raisonnement (l'aire des 4 (?!!?) demi-lentilles ?)... De plus, tu débouches sur un résultat faux. Il va falloir revoir ta démo.

Looping : Oui, inconsciemment, je l'ai oublié et pourtant au départ, j'ai voulu le mettre. L'énoncé a été mis à jour...

Sinon à part Franky, tout le monde à bon.

il me semble avoir posé un similaire: http://www.prise2tete.fr/forum/viewtopic.php?id=7167
Mais pas pareil.
La réponse est 1,1415, non?

Bonjour,

J'appelle I et J les intersections des cercles de centre O et Q, I étant le milieu de [OP].
Le secteur circulaire IOJ a pour aire [latex]\frac{\pi}{4}[/latex].
Le triangle IOJ a pour aire [latex]\frac{1}{2}[/latex].
Donc la demi-lunule coincée entre les deux a pour aire [latex]\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}[/latex]
En multipliant par 4 on trouve l'aire des deux lunules :[latex] \pi-2[/latex]

Edit :
Moi c'est surtout apprendre à lire dont j'aurai besoin.
Je ne pense pas avoir fait une erreur sur le calcul des lunules mais comme ce n'est pas la question .
Je corrige donc:

[latex]3 \pi[/latex] pour les 3 cercles moins les  lunules qui sont comptées deux fois;

Il reste donc [latex]2\pi + 2[/latex].

Donc [latex]4x+8y=4[/latex] et [latex]4x+4y=\pi[/latex], d'où [latex]2x=\pi-2[/latex] et l'aire cherchée vaut 3 fois l'aire d'un disque moins 2x, soit [latex]2(\pi+1)[/latex].

C'est bon pour Franky, TLaplot, barbriv...

Les autres, revoir l'aire de calcul des lunules...

On a le rayon des trois cercles égal à 1.

Soit M' le deuxième point d'intersection des cercles de centre O et Q.

On a (OMQM') qui forment un carré de côté 1 (car il a quatre côtés égaux et un angle droit (en M car QM est la médiatrice)) :



Soit CA l'aire du carré (OMQM') .
Soit AC l'aire de l'arc de cercle (OMM').
Soit F l'aire de la figure en jaune délimité par MQM'.
Soit R l'aire en rouge, C l'aire d'un cercle vert et V l'aire recherchée.

On a CA = 1, AC =  [latex]\pi\over 4[/latex] et C = [latex]\pi[/latex]

On a F = CA - AC.
On a R = CA - 2 * F = CA - 2 * CA + 2 * AC = 2* AC - CA.

Et enfin V = 3 * C - 2 * R = 3 * C - 4 * AC + 2 * CA.
Autrement écrit V = [latex] 2\pi + 2[/latex].

On considère le carré (notons le C) de diagonale [PQ]
Aire(C)=1 et l'aire d'un quart de cercle vaut Pi/4 (c'est a dire l'aire du cercle de centre P contenue par C).
L'aire d'une intersection de deux cercles vaut donc
I=1 (aire de C) - (1-Pi/4) - (1-Pi/4) (les aires de part et d'autre de l'intersection)= Pi/2-1
D'ou l'union des deux intersections a une aire U=Pi-2
Ainsi l'aire totale : T = 3 * Pi (aire d'un cercle) - U = 2*Pi + 2

J'avais commencé a le faire avec des intégrations mais en fait nan parceque intégrer racine de u c'est chiant

1er sol

Aire des 4 lunes = Aire d'un cercle - aire du cercle sans lune

aire du cercle sans lune = Air du carré de coté 2 (donc les milieu des coté passe par le centre des cercles) -  Aire d'un cercle

aire du cercle sans lune = 4 - pi

Aire des 4 lunes = pi - (4 - pi) = 2pi - 4

Aire des 2 lunes =  pi - 2

Aire total = 3pi - (pi - 2) = 2pi + 2 = 8,28



2eme sol

Aire des 2 lunes = Aire d'un cercle - Aire du carré de coté rac de 2 ( l'inter de la lune)

Aire des 2 lunes = pi - (rac 2) au carré = pi - 2

Aire total = 3pi - (pi - 2) = 2pi + 2 = 8,28

pi +6 ?

D'abord on calcule l'aire des recoupements des disques : c'est quatre fois l'aire d'un quart de disque auquel on retire un triangle rectangle isocèle : 4(pi*1²/4-1²/2) = pi -2
Donc l'aire totale est :
3*(pi*1²) - (pi-2)
= 2pi+2

En voyant le résulta je voix une démonstration plus simple avec un puzzle :
_Un rectangle de dimension 1x2
_deux cercle où un quart se détache
En emboitant correctement les pièces on retrouve la forme.