Bonjour,

Je retente ma chance car ma réponse précédente, que j'ai effacée, comportait une erreur.

1ère étape: M ne sait pas répondre
J'élimine tous les nombres à somme unique de chiffres: il me reste 88 nombres.

2ème étape: A ne trouve pas N
J'élimine tous les nombres à nombre unique de diviseurs: il me reste 86 nombres.

3ème étape: A peut donner la parité de N
J'élimine tous les nombres ayant plus de deux diviseurs: il me reste 6 nombres: 16; 25; 48; 49; 80 et 81.

4ème étape: A peut donner la parité de N (bis)
J'élimine tous les nombres dont la parité est différente: il me reste 4 nombres: 25; 48; 49 et 80.

5ème étape: M et A sont capables de trouver N
Je cale de nouveau: j'ai 2 couples de 2 nombres, à même nombre de diviseurs, de même parité et de somme différente de chiffres.

S'agit-il d'un cas d'indécidabilité de Gödel ?

Bonne journée.
Frank

Corrigé Je pense qu'il ne me reste plus d'erreur maintenant.

Re-re-bonjour,

Bon d'accord, tout ce que j'ai imaginé est faux.

Si Ash connait 2 diviseurs => nombre premier => impair
Si Ash connait 3 diviseurs => carré d'un nombre premier => impair
Si Ash connait 4 diviseurs => impossible de déduire la parité de N
Si Ash connait 5 diviseurs => impossible de déduire la parité de N (ex : 16 et 81)
Si Ash connait 6 diviseurs => impossible de déduire la parité de N (ex : 50 et 75)
Si Ash connait 7 diviseurs ou plus => 2 est nécessairement diviseur => pair
Si Ash connait 12 diviseurs, alors il connait le nombre, qui est nécessairement 96.

Il faut donc trouver une somme connue par Mathias, telle que parmi les nombres possibles, un seul ait 2, 3, ou entre 7 et 11 diviseurs.


Si Mathias a 2, donc il hésite entre 11 et 20. Avec 11, Ash a 2 et peut deviner la parité. Avec 20, Ash a 6 et ne peut pas conclure.
Donc si Mathias a 2, il peut conclure que N=11 (et Ash a 2).

Si Mathias a 3, il hésite entre 12, 21 et 30. Avec 12 et 21, Ash ne peut pas conclure, mais avec 30 qui a 8 diviseurs, Ash aurait pu déduire la parité paire.
Donc si Mathias a 3, il peut conclure que N=30 (et Ash a 8).

Si Mathias a 4, il hésite entre 13, 22, 31 et 40. Avec 13 et 31, Ash peut déduire la parité impaire de N et avec 40, Ash peut déduire la parité paire de N. Donc Mathias ne peut pas conclure.

Si Mathias a 5, il hésite entre 14, 23, 32, 41 et 50. Mais 23 et 41 sont premiers et Ash aurait pu déduire la parité impaire. Donc Mathias ne peut pas conclure.

Si Mathias a 6, il hésite entre 15, 24, 33, 42, 51 et 60. Avec 24, 42 et 60, Ash aurait pu déduire la parité paire. Donc Mathias ne peut pas conclure.

Si Mathias a 7, il hésite entre 16, 25, 34, 43, 52, 61 et 70. Mais 25 est le carré d'un nombre premier et 43 et 61 sont premiers. Donc Mathias ne peut pas conclure.

Si Mathias a 8, il hésite entre 17, 26, 35, 44, 53, 62, 71 et 80. Mais 17, 53 et 71 sont premiers, et 80 a plus de 6 diviseurs. Mathias ne peut donc pas conclure.

Si Mathias a 9, il hésite entre 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81 et 90. Mais 36, 54, 72 et 90 ont plus de 6 diviseurs, Ash aurait pu déduire la parité paire. Donc Mathias ne peut pas conclure.

Si Mathias a 10, il hésite entre 19, 28, 37, 46, 55, 64, 73, 82 et 91. Mais 19, 37 et 73 sont premiers, et 64 a plus de 6 diviseurs. Donc Mathias ne peut pas conclure.

Si Mathias a 11, il hésite entre 29, 38, 47, 56, 65, 74, 83 et 92. Mais 29, 47 et 83 sont premiers. Et 56 a plus de 6 diviseurs. Donc Mathias ne peut pas conclure.

Si Mathias a 12, il hésite entre 39, 48, 57, 66, 75, 84 et 93. Mais 48, 66 et 84 ont plus de 4 diviseurs. Ash aurait donc pu déduire la parité paire. Donc Mathias ne peut pas conclure.

Si Mathias a 13, il hésite entre 49, 58, 67, 76, 85 et 94. Mais 49 est un carré d'un nombre premier et 67 est premier. Donc Mathias ne peut pas conclure.

Si Mathias a 14, il hésite entre 59, 68, 77, 86 et 95. 77 et 95 ne sont pas premiers, 68 a 6 diviseurs et 86 a 4 diviseurs. Dans ces cas Ash ne peut rien déduire. Et avec 59 qui est premier, Ash peut déduire la parité impaire.
Donc si Mathias a 14, il peut conclure que N=59 (et Ash a 2).

Si Mathias a 15, il hésite entre 69, 78, 87 et 96. Mais 69 et 87 ne sont pas premiers, ni carrés d'un premier, donc Ash ne peut pas deviner la parité impaire de N. En outre, 96 est le seul nombre inférieur à 100 à avoir 12 diviseurs, donc Ash aurait immédiatement trouvé ce nombre. Il reste 78 qui a 8 diviseurs (1, 2, 3, 6, 13, 26, 39 et 78), donc Ash était capable de deviner la parité paire de N.
Donc si Mathias a 15, il peut conclure que N= 78 (et Ash a 8).

Si Mathias a 16, il hésite entre 79, 88 et 97. Mais 79 et 97 sont premiers, ce qui ne permet pas à Mathias de conclure.

Si Mathias a 17, il hésite entre 89 et 98. Si c'était 98 qui a 6 diviseurs, Ash ne pourrait pas conclure. Et avec 89 qui est premier, Ash peut déduire la parité impaire.
Donc si Mathias a 17, il est certain à ce stade que N=89 (et Ash a 2).

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En résumé, Mathias peut conclure dans 5 cas de figure.
Dans trois cas, Ash a 2 (N=11, 59 ou 89) et dans deux cas Ash a 8 (N=30 ou 78).
Ce qui signifie qu'Ash ne peut pas à son tour conclure, donc il n'y aurait pas de solution à ce problème, donc je me suis probablement encore planté quelque part...

Il a fallu la solution pour que je comprenne que j'avais mal interprété l'énoncé

Si on faisait l'erreur de comprendre "à deux chiffre" comme inférieur à 100, cela changeait tout, car on ne pouvait plus considérer les nombres premiers comme impaire à coup sûr (à cause de 2) et là on était bloqué à la fin avec deux possibilités 80 ou 90.

Mathias ne connait pas la valeur de D quand il répond "Donc je sais".
C'est donc qu'il a une somme que l'on peut obtenir avec au plus 1 nombre dans ceux que la parité concerne. Du coup, s'il a 15, le nombre pourrait être 78 ou 96, qui tous les deux un nombre de diviseurs assurant à ash qu'il connait la parité.

Si c'est pas plus clair, je retenterai

A ben c'est moi qui me trompe...
Effectivement, il y a d'autres nombres qui ont 12 diviseurs, comme par exemple 90...

Donc ça marche, la réponse est celle de Saint-Pierre.

C'est un problème superbe. Bravo saint-Pierre !
Klim.

Ouais, moi aussi, je tire mon chapeau, car la seule chose que j'ai comprise, c'est que je me suis planté, et je ne sais pas où est mon erreur (sans doute de raisonnement).
Bonne journée à tous.
Frank

et moi j'ai bêtement oublié qu'a deux ou trois diviseurs on connait aussi la parité
damn it