Enigme Impossible ? @ Prise2Tete

SaintPierre · #1

SaintPierre choisit un nombre entier N à deux chiffres. Je donne la somme des chiffres de N à Mathias et le nombre de diviseurs positifs de N à Ash. Chacun d'eux est informé de la nature du nombre communiqué à l'autre. Je leur demande de déterminer N.

On a le dialogue suivant :
M: Je ne sais pas répondre.
A : Moi non plus, je ne sais pas trouver N mais je peux donner sa parité.
M : Dans ce cas, je suis capable de trouver N.
A : Moi aussi.

Quel nombre N SaintPierre a-t-il choisi ?

MthS-MlndN · #2

La somme des chiffres n'élimine que 10 et 99.

Si Ash peut déterminer la parité du nombre, c'est peut-être qu'il est premier (le 2 obtenu par Ash lui assure alors qu'il est impair), ou bien... Je vais classer les nombres de 11 a 98 par nombre de diviseurs, tiens :

2 : 11, 13, 17, 19, 23, 29, etc. (tous les premiers : tous impairs)
3 : 25, 49
4 : 14, 15, 21, 22, 26, 27, 33... (tous les produits de deux nombres premiers distincts, ainsi que 27 qui est un cube de nombre premier)
5 : 16, 81
6 : 12, 18, 20, 28, 32, 44, 45, 50, 52, 63, 68, 75, 76, 92
7 : 64
8 : 24, 30, 40, 42, 54, 56, 66, 70, 78, 88
9 : 36
10 : 48, 80
12 : 60, 72, 84, 90, 96

La parité est assurée, sans que le nombre ne puisse être connu, pour les nombres de diviseurs suivants : 2, 3, 8, 10, 12. Ca nous donne les possibilités suivantes, ici classées par somme des chiffres :

2 : 11
3 : 30
4 : 13, 31, 40
5 : 23, 41
6 : 24, 42, 60
7 : 25, 43, 61, 70
8 : 17, 53, 71, 80
9 : 54, 72, 90
10 : 19, 37, 73
11 : 29, 47, 56, 83
12 : 48, 66, 84
13 : 49, 67
14 : 59
15 : 78, 96
16 : 79, 88, 97
17 : 89

Ash sait donc que c'est un des quatre nombres en gras que Mathias a reconnu, et trois de ces nombres ont deux diviseurs exactement (puisqu'ils sont premiers). Si Ash peut déterminer la solution, c'est qu'il a reconnu 30 comme étant cette solution.

Pfiouh, j'avais quand même pas mal d'erreurs... Ca m'apprendra a essayer de tout faire de tête, sans Wikipedia et sans papier

Klimrod · #3

Bonsoir,

Mathias a 2 et Ash a 1.

Dialogue :
M: Je ne sais pas répondre, car N peut être 11 ou 20.

A : Moi non plus, je ne sais pas trouver N mais je peux donner sa parité, car un seul diviseur implique que N est un nombre premier, donc impair.

M : Dans ce cas, je suis capable de trouver N. En effet, si Ash connait la parité, c'est que N est impair, donc N=11.

A : Moi aussi, car les nombres impairs supérieurs à 11 ont une somme de leurs chiffres qui n'aurait pas permis à Mathias de trouver.

Donc réponse N=11.

Klim.

scarta · #4

N=30

Explications:
1) Mathias connait la somme des deux chiffres mais ne peut pas trouver le nombre: on exclut donc 10 (seul dont la somme fait 1) et 99 (seul dont la somme fait 18)
2) Ash connait le nombre de diviseurs et peut ainsi trouver la parité du nombre. On va donc éliminer ceux qui ont :
- 4 diviseurs (14 et 15)
- 5 diviseurs (16 ou 81)
- 6 diviseurs (12 ou 45)
- 7 diviseurs (64 est le seul, et donc Ash aurait du trouver)
3) Mathias est alors capable de trouver N: parmi les valeurs restantes possibles, on ne garde que celles qui ont une somme de chiffre unique
4) Ash trouve aussi: parmi les possibilités restantes, l'une d'entre elle doit avoir un nombre de diviseurs unique.

On trouve donc 30

Clydevil · #5

Salut,

Alors alors:

>> M: Je ne sais pas répondre.
Donne peu d'information, mais tout de même que N != 99 et N != 10

>> A : Moi non plus, je ne sais pas trouver N mais je peux donner sa parité.
Après avoir tenté de présenter ca méthodiquement j'ai opté pour la méthode
empirique listant tous les nombres de diviseurs des nombre entre 10 et 98 compris.
On peut conclure de la parité avec le nombre de diviseurs lorsque celui ci est:
2 -> N est nécessairement un nombre premier compris entre 10 et 98.
3 -> N vaut 25 ou 49.
7 -> N vaut 64. (non valable ici car il aurait déduit N)
8 -> N vaut {24,30,40,42,54,56,66,70,78,88}
9 -> N vaut 36. (non valable ici car il aurait déduit N)
10 -> N vaut 48 ou 80.
12 -> N vaut {60,72,84,90,96}
En version synthétique les nombres N compatibles à ce stade sont tous les nombres entre 11 et 98 compris avec 2,3,8,10 ou 12 diviseurs.

>> M : Dans ce cas, je suis capable de trouver N.
Ceci signifie que dans toutes les décompositions possibles de la somme des chiffres, il n'y en a qu'une qui se recompose en un N dont le nombre de diviseurs est 2,3,8,10 ou 12. Empiriquement la liste des nombres N entre 10 et 98 vérifiant cette propriété est:
Computer is our best friend.
N appartient à {11,30,59,89}

>>A : Moi aussi.
Ceci signifie que dans tous les nombres auxquels peuvent correspondre le nombre de diviseurs observés il n'y en a qu'un appartenant à la liste ci dessus. Empiriquement la liste des nombres N entre 10 et 98 vérifiant cette propriété est:
Computer is still our best friend.
N appartient à {30}

Saint-Pierre a choisi N=30.

Voila voila.

rivas · #6

Je trouve plusieurs réponses possibles: 11, 59, 61, 67 et 89.

J'explique mon raisonnement:
Je numérote les phrases du dialogue de 1 à 4.

1 ne nous apprend pas grand chose (à part peut-être que le nombre n'est pas 10, ni 99) mais bon ces nombres sont éliminés plus tard.

La clé pour moi est dans le 2. Comment savoir la parité d'un nombre en ne connaissant que le nombre de ses diviseurs? La seule réponse que je vois est que ce nombre de diviseurs soit 2 et que donc le nombre soit premier, auquel cas il est forcément impair (puisqu'à 2 chiffres).
Si le nombre de diviseurs est plus grand que 2, rien n'empêche 2 d'être un facteur du nombre ou pas.

A partir de là, M fait le même raisonnement et sait donc que c'est un nombre premier. Comme il peut conclure, c'est donc un nombre premier dont la somme des chiffres n'apparait que pour un seul nombre, ce qui donne les choix ci-dessus.

Puisque M trouve, A sait que c'est un nombre premier dont la somme des chiffres est unique et trouve donc lui aussi.

Seulement ça ne colle pas avec l'énoncé qui semble indiquer qu'il y a une solution unique.
Je dois louper un truc...

L00ping007 · #7

J'ai déduit que le nombre N vaut 30.

- La première affirmation ne nous permet que d'éliminer les nombres 10 et 99 (seuls dont la somme vaut 1 pour l'un, et 18 pour l'autre)

- La seconde affirmation nous permet d'éliminer les nombres dont le nombre de diviseurs est le même pour à la fois des nombres impairs et des nombres pairs.
2 : 11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97
3 : 25,49
4 : 10,14,15,21,22,26,27,33,34,35,38,39,46,51,55,
57,58,62,65,69,74,77,82,85,86,87,91,93,94,95
5 : 16,81
6 : 12,18,20,28,32,44,45,50,52,63,68,75,76,92,98,99
7 : 64
8 : 24,30,40,42,54,56,66,70,78,88
9 : 36
10 : 48,80
12 : 60,72,84,90,96

On ne garde donc que les nombres ayant 2 (premiers), 3, 9, 10, 12

11,13,17,19,23,24,25,29,30,31,37,40,41,42,43,47,48,49,53,54,
56,59,60,61,66,67,70,71,72,73,78,79,80,83,84,88,89,90,96,97

- Comme Mathias peut déterminer son nombre, c'est donc que parmi cette liste, il est le seul à avoir la somme que Mathias détient.

2 : 11
3 : 30
4 : 13,31,40
5 : 23,41
6 : 24,42,60
7 : 25,43,61,70
8 : 17,53,71,80
9 : 54,72,90
10 : 19,37,73
11 : 29,47,56,83
12 : 48,66,84
13 : 49,67
14 : 59
15 : 78,96
16 : 79,88,97
17 : 89

On ne garde donc de cette liste que les nombres suivants : 11,30,59,89

- Or Ash peut alors deviner le nombre. Comme 11,59,89, qui sont premiers, ont tous les trois 2 diviseurs, le nombre n'est pas parmi eux (ash ne pourrait conclure)

Il ne reste alors que le nombre 30 !

Mathias avait reçu 3, et Ash avait reçu 8.

w9Lyl6n · #8

1) La première réponse n'apporte rien, si ce n'est que N n'est ni 0 (somme 0) ni 99 (somme 18)

2) lemme : pour tout nombre impair [latex]a[/latex] possédant n diviseur, il existe un nombre pair [latex]b[/latex] plus petit possédant le même nombre de diviseur.
preuve : il suffit de remplacer les nombres premier de la décomposition de [latex]a[/latex] par les nombre premiers dans l'ordre. Exemple [latex]a=3^517^731^2[/latex]->[latex]b=2^53^75^2[/latex]

Donc Ash sait que sont nombre est pair, (sinon il existerait un nombre entre 0 et 99 pair avec le même nombre de diviseur)
De plus on sait que tous les nombres impairs ayant le même nombre de diviseur sont supérieur à 99, sinon il ne pourrait pas faire son affirmation.
Mathias à fait le même raisonnement, voici toutes les possibilité pour le nombre de diviseur:

~~7 diviseurs : [latex]2^6=64[/latex] somme 10~~ -> ce n'est pas ça puisqu'il n'y en a qu'un et que Ash n'a pas encore trouvé

8 diviseurs :
[latex]2^3*3=24[/latex] somme 6*
[latex]2^3*5=40[/latex] somme 4
[latex]2^3*7=56[/latex] somme 11
[latex]2^3*11=88[/latex] somme 6
[latex]2*3*5=30[/latex] somme 3
[latex]2*3*7=42[/latex] somme 6*
[latex]2*3*11=66[/latex] somme 12*
[latex]2*3*13=78[/latex] somme 15*
[latex]2*5*7=70[/latex] somme 7

9 diviseurs :
~~[latex]2^2*3^2=36[/latex] somme 9~~ <- Ash aurait trouvé

10 diviseurs :
[latex]2^4*3=48[/latex] somme 12*
[latex]2^4*5=80[/latex] somme 8

12 diviseurs :
[latex]2^2*3*5=60[/latex] somme 6*
[latex]2*3^2*5=90[/latex] somme 9
[latex]2^5*3=96[/latex] somme 15*

3)* signifie que le somme apparait plusieurs fois donc que Mathias n'aurait pas pu conclure au prochain coup si c'était ça.
La réponse est l'une des autres possibilité

4) Mathias a trouvé. Ash en déduit que ce n'est pas les * la solution, et comme il trouve la réponse c'est qu'il n'en reste plus qu'une pour le nombre de diviseur: c'est donc 80 ou 90 pour 10 ou 12 diviseurs.

Conclusion : SaintPierre a choisi N égal à 80 ou 90

SaintPierre · #9

scarta et L00ping: bonne réponse.
Clydevil: il faut être plus rigoureux et n'avoir qu'une seule réponse...

w9Lyl6n · #10

J'avais oublié 36 qui est le seul à avoir 9 diviseurs.
Je trouve donc N=80, est ce que j'ai bon?

Clydevil · #11

Clydevil: il faut être plus rigoureux et n'avoir qu'une seule réponse... wink

J'imagine bien et c'est bien pour ça que je disais chercher l'erreur dans ce $%*$ de programme!, et j'ai enfin fini par trouver la ligne de code fautive et mis à jour mon post.

looozer · #12

11?

MthS-MlndN · #13

SaintPierre a écrit:
scarta et L00ping: bonne réponse.

Et les autres ?

Bamby2 · #14

si il connait la parité c'est qu'il y a plus de 6 diviseurs, en effet avec 6 ou moins on peut obtenir des nombres impaires :
1-3-9-27-81
1-3-5-9-15-45
1-3-5-15-25-75

mais il y a peu de nombre ayant plus de 6 diviseurs:
(j'ai fait ca a la main .... j'espere ne pas en avoir oublié)
7:64
8:24,30,40,42,54,56,66,70,78,88
9:36
10:48,80
12:60,72,84,90,96

si A ne sait pas répondre, il n'a pas 7 ou 9 comme nombre de diviseur.
si M sait répondre c'est qu'il a un nombre qui dans cette liste aparait une seul fois, il reste donc :
8:30,40,56,70
10:80

puisque A a alors trouver, il s'agit de 80.

Klimrod · #15

Bonjour,
Puisque le temps imparti court encore, je souhaite modifier ma réponse initiale qui était fausse.
Préalable : 1 et N sont considérés comme diviseurs de N.

Dialogue :

M : Je ne sais pas répondre, car la somme que je connais est supérieure à 1 (si elle vaut 1, on sait que N=10).

A : Moi non plus, je ne sais pas trouver N mais je peux donner sa parité.
Il y a trois cas de figure possibles :
a) N n'a que deux diviseurs. Ça implique que N est un nombre premier (supérieur à 10), donc N est impair.
b) N n'a que trois diviseurs. N est alors un carré parfait d'un nombre premier, donc N est impair.
c) N a au moins 5 diviseurs. Et comme N<100, il y a nécessairement 2 parmi les diviseurs, auquel cas on est sûr que N est pair.

M : Dans ce cas, je suis capable de trouver N. En effet, si Ash connait la parité, c'est que soit N est impair (nombre premier ou carré d'un nombre premier) soit N est pair avec au moins 5 diviseurs.
Il ne doit donc y avoir qu'un seul de ces nombres parmi la liste de nombres avec lesquels Mathias hésite.

Si Mathias a 2, donc il hésite entre 11 et 20. Avec 11, Ash a 2 et peut deviner la parité. Avec 20, Ash a 6 et peut deviner la parité. Mathias ne peut pas conclure.

Si Mathias a 3 et hésite entre 12, 21 et 30. Avec 12 et 30, Ash aurait pu déduire la parité paire. Donc Mathias ne peut pas conclure.

Si Mathias a 4 et hésite entre 13, 22, 31 et 40. Avec 13 et 31, Ash peut déduire la parité impaire de N et avec 40, Ash peut déduire la parité paire de N. Donc Mathias ne peut pas conclure.

Si Mathias a 5 et hésite entre 14, 23, 32, 41 et 50. Mais 23 et 41 sont premiers, et 32 et 50 ont plus de 4 diviseurs. Donc Mathias ne peut pas conclure.

Si Mathias a 6 et hésite entre 15, 24, 33, 42, 51 et 60. Avec 24, 42 et 60, Ash aurait pu déduire la parité paire. Donc Mathias ne peut pas conclure.

Si Mathias a 7 et hésite entre 16, 25, 34, 43, 52, 61 et 70. Mais 25 est le carré d'un nombre premier et 43 et 61 sont premiers, et 16, 52 et 70 ont plus de 4 diviseurs. Donc Mathias ne peut pas conclure.

Si Mathias a 8 et hésite entre 17, 26, 35, 44, 53, 62, 71 et 80. Mais 17, 53 et 71 sont premiers, et 44 et 80 ont plus de 4 diviseurs. Mathias ne peut donc pas conclure.

Si Mathias a 9 et hésite entre 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81 et 90. Avec n'importe quel nombre pair, Ash aurait pu déduire la parité paire. Donc Mathias ne peut pas conclure.

Si Mathias a 10 et hésite entre 19, 28, 37, 46, 55, 64, 73, 82 et 91. Mais 19, 37 et 73 sont premiers, et 28 et 64 ont plus de 4 diviseurs. Donc Mathias ne peut pas conclure.

Si Mathias a 11 et hésite entre 29, 38, 47, 56, 65, 74, 83 et 92. Mais 29, 47 et 83 sont premiers. Et 56 et 92 ont plus de 4 diviseurs. Donc Mathias ne peut pas conclure.

Si Mathias a 12 et hésite entre 39, 48, 57, 66, 75, 84 et 93. Mais 48, 66 et 84 ont plus de 4 diviseurs. Ash aurait donc pu déduire la parité paire. Donc Mathias ne peut pas conclure.

Si Mathias a 13 et hésite entre 49, 58, 67, 76, 85 et 94. Mais 49 est un carré d'un nombre premier et 67 est premier. Et 76 a plus de 4 diviseurs. Donc Mathias ne peut pas conclure.

Si Mathias a 14 et hésite entre 59, 68, 77, 86 et 95. Ash ayant déduit la parité, si c'est impair, c'est 59 (qui est premier) et si c'est pair, c'est 68 (qui a plus de 4 diviseurs). Mais Mathias ne peut pas conclure s'il ne connait pas la parité.

Si Mathias a 15 et hésite entre 69, 78, 87 et 96. ~~Mais 78 et 96 ont plus de 4 diviseurs. Donc Mathias ne peut pas conclure.~~
[Edit] : 69 et 87 ne sont pas premiers, ni carrés d'un premier, donc Ash ne pouvait pas deviner la parité impaire de N. En outre, 96 est le seul nombre inférieur à 100 à avoir 12 diviseurs, donc Ash aurait immédiatement trouvé ce nombre. Il reste 78 qui a 8 diviseurs (1, 2, 3, 6, 13, 26, 39 et 78), donc Ash était capable de deviner la parité paire de N.
Si Mathias a 15 et qu'Ash devine la parité de N, alors Mathias peut être certain que N= 78.

Si Mathias a 16 et hésite entre 79, 88 et 97. Mais 79 et 97 sont premiers, ce qui ne permet pas à Mathias de conclure.

Si Mathias a 17 et hésite entre 89 et 98. Si c'était 98, les diviseurs seraient 1-2-47-98, Ash aurait donc 4 et n'aurait pas pu conclure (par exemple 15 et 98 ont chacun 4 diviseurs).
Donc si Mathias a 17, il est certain à ce stade que N=89.
[Edit] : C'est faux, car les diviseurs de 98 sont 1-2-7-49-98, donc Ash est en position de deviner la parité paire. Et pour 89 qui est premier, Ash est en position de deviner la parité impaire. Mathias ne peut donc pas conclure.

A : Moi aussi.
En effet, Ash a 8. Au premier coup, il déduit que N est un nombre pair. Puis au deuxième coup, il balaye les quelques nombres pairs ayant 8 diviseurs, et en faisant le même raisonnement que ci-dessus, il déduit que N=78.

Donc réponse : ~~Mathias a 17, Ash a 2 et N=89~~.
[Edit] : réponse : Mathias a 15, Ash a 8 et N=78

Ouf ! Sacré problème !
Klim.

SaintPierre · #16

Non, Klim. Je reviendrai sur vos réponses ce soir, si possible.

nodgim · #17

Je trouve 49. Pas de sélections possibles avec un N pair (reste 2 choix).

SaintPierre · #18

La réponse est un nombre pair, supérieur au nombre d'heures restantes avant que les réponses soient dévoilées.

nodgim · #19

C'est drôle j'avais d'abord trouvé 64 ou 80 mais je reste sur une indécision pour A......

gwen27 · #20

1 : la somme des chiffres ne permet pas de déterminer le nombre...
Nous v'la bien avancés Bon, ça élimine 10 et 99.

2 : le nombre de diviseurs non plus mais il permet de donner la parité
Ah, là ça aide ! Il y a donc 3 diviseurs ( autres que 1 et le nombre) ; toutes les autres situations amènent à une inconnue sur la parité et le nombre est pair.

Sa décomposition en facteurs premiers est soit 2 3 5 , soit 2 3 7 , soit 2 5 7
Super, ça laisse 30 42 60 70 84 ou 90 mais il y a un doute , 2 sommes à 6

3 : et là, Mathias répond, donc c'est 90 , seul de ces nombre s qui ait 8 divisuers (2 3 5 6 10 15 30 45 )

Les autres en ont 6 ou 10

De là , Ash conclut facilement à son tour ...

Le nombre est 90

Klimrod · #21

Re-bonsoir,

J'ai corrigé les quelques fautes d'inattention qui ont conduit à un résultat faux. J'espère que c'est correct maintenant...

Il est amusant de remarquer que Ash pouvait deviner la parité de N dès le début du problème, sauf le seul cas où il aurait 4.
Avec 2 ou 3, c'est impair, et avec plus que 4, c'est pair.

Maigre consolation : mon raisonnement initial était quand même correct...
Merci pour ce problème sympathique.
Klim.

SaintPierre · #22

Toujours pas...

nodgim · #23

C'est bon pour 80 (car 64 donnerait une réponse directe par A).
Mais à y regarder de près, 49 marche aussi: 3 diviseurs donc 25 ou 49 et connaissance de parité assurée. Mais si 25, M ne pourrait conclure avec les autres nb de somme 7.

gwen27 · #24

Suivant le nombre de diviseurs, peut-on déterminer la parité ?

2 diviseurs : oui , ce sont les nombres premiers
( 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 ou 97 )

3 diviseurs : oui, ce sont les carrés de premiers (25 ou 49)

4 diviseurs : non

6 diviseurs : non

8 diviseurs : oui
( 24 30 40 42 54 56 66 70 78 ou 88)

9 diviseurs : oui, mais non car le résultat serait unique (36)

10 diviseurs : oui, mais non aussi car résultat unique (48)

12 diviseurs : oui ( 60 72 84 90 ou 96)

En reprenant la somme des chiffres, seuls 4 nombres ont une somme de chiffres unique qui permet à Mathias de répondre : 11 30 59 ou 89

Et parmi ceux-là, un seul a un nombre unique de diviseurs : 30

MthS-MlndN · #25

On en revient au problème de suivi de tes énigmes : deux tiers de ceux qui ont répondu ne savent pas s'ils ont trouvé la bonne réponse ou pas. Dis-le-nous, pleaaaaaase

Ou bien mets une case réponse !

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#1 - 04-09-2011 21:53:50

Impossbile ?

#0 Pub

#2 - 04-09-2011 22:26:37

Impossibl e?

#3 - 04-09-2011 23:01:58

Imossible ?

#4 - 05-09-2011 08:40:38

impossibme ?

#5 - 05-09-2011 14:50:14

Impossile ?

#6 - 05-09-2011 16:23:03

Impssible ?

#7 - 05-09-2011 16:57:25

impossinle ?

#8 - 05-09-2011 18:45:41

Impsosible ?

#9 - 05-09-2011 21:27:58

Impossibe ?

#10 - 05-09-2011 22:08:47

imoossible ?

#11 - 05-09-2011 22:13:51

Imposisble ?

#12 - 05-09-2011 23:15:03

Impossible

#13 - 06-09-2011 00:32:52

impossoble ?

SaintPierre a écrit:

#14 - 06-09-2011 15:35:04

impossibme ?

#15 - 06-09-2011 17:23:37

mIpossible ?

#16 - 06-09-2011 19:06:45

Imposssible ?

#17 - 06-09-2011 19:16:41

impossoble ?

#18 - 06-09-2011 19:19:19

Imossible ?

#19 - 06-09-2011 19:23:58

ompossible ?

#20 - 06-09-2011 20:20:25

Impoossible ?

#21 - 06-09-2011 21:20:29

Imopssible ?

#22 - 07-09-2011 04:00:21

Impossible

#23 - 07-09-2011 06:43:11

Impssible ?

#24 - 07-09-2011 08:06:09

Imossible ?

#25 - 07-09-2011 10:31:25

Impossilbe ?

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