Je sais pas pourquoi, mais je m'attendais à ce qu'au moins une personne me fasse cette remarque.

Bonjour


Un truc qui me vient à l'idée pour le premier
Résoudre  [latex]P(x) = 0 [/latex] équivaut à [latex](\frac{x+1}{x-1})^n=1[/latex] et x différent de 1
Ça  donne la résolution de

[latex]\frac{x+1}{x-1} = e^{\frac{2ik\pi}{n} }[/latex] pour tout k entre 1 et n-1.


On arrive sauf erreur à [latex]x=i \cot \frac{k\pi}{n}[/latex] pour k entre 1 et n-1, ce qui permet de retrouver les propriétés que tu citais.

Edit : j'avais commencé sur mon smartphone mais pour les maths ce n'est pas terrible. (Je constate d'ailleurs que je n'arrive pas non plus à retrouver comment écrire  différent et cotan donc ça reste "pas terrible" )

MthS-MlndN a écrit:

Je sais pas pourquoi, mais je m'attendais à ce qu'au moins une personne me fasse cette remarque.

Tu devais te douter que cela viendrait de moi

Je parle du module d'une racine Z noté |Z|.

Soit Z une racine :
en remplacant dans l'expression initiale tu en deduis que Z^2 est aussi une racine.
Ainsi si tu supposes que le module de Z est different de 0 ou de 1, tu vas de retrouver avec une infinite de racines pour un polynome de degre fini.

En tout cas, je décroche à la ligne suivante...

c'est une simple reecriture par changement de variable : x = y-1 qui te permet de conclure que Z racine => (Z-1)^2 l'est aussi.

Autre chose -c'est peut-être la même idée que Yuka -
si a est un zéro de P, P(a^2)=P(a)*P(a+1)=0 donc a^2 est aussi un zéro de P,de même que a^4, a^8, etc. C'est à dire une infinité de solutions distinctes si a n'est pas 0 ou 1.

Attention, ton polynôme est à coefficients réels mais il peut avoir des racines complexes. Donc tu ne peux qu'en déduire que le module de a vaut 0 ou 1 à ce stade.
Rien n'empêche i (celui dont le carré vaut -1) d'être racine avec le seul argument que la suite des a^(2n) est solution de P(X) = 0


Soit S l'ensemble des racines du polynômes
On a seulement : a appartient à S => a=0 ou |a|=1

C'est pour ça que par la suite j'ai ajouté le changement de variable x = y-1 qui permet de déduire que
a appartient à S => (a-1)^2 appartient à S
Il vient a-1 = 0 ou |a-1| = 1 d'après la première implication ci dessus.

On résout |a|=|a-1| = 1. On trouve que s'il existe des racines autres que 0 ou 1 alors elles ne peuvent valoir que e(i*Pi/3) ou e(-i*Pi/3).

ensuite on utilise a appartient à S => (a-1)^2 appartient à S en remplaçant tour à tour par les deux solutions candidates et on en déduit qu'elles ne vérifient finalement pas la propriété.

C'est seulement à ce moment là qu'on peut en déduire que 0 et 1 sont les seules racines possibles d'un tel polynôme.

Un bon candidat polynôme est X^n(X-1)^n mais je ne vois pas bien comment prouver que 0 et 1 ont la même multiplicité.

Comme je l'ai fait dans mon premier message, on suppose deux multiplicités a et b, on remplace l'écriture X^a(X-1)^b dans l'égalité de l'énoncé, on identifie les puissances et on tombe sur a=b.

Conclusion
P(X)=0
P(X)=1
P(X) =X^n(X-1)^n pour tout n > 0
sont les seules solutions.

Un exo classique de math sup en soi.