en utilisant la méthode de l'arbre minimal de Steiner je trouve 273(,22) :

avec la distance qui est entre une ville et le le point de steiner opposé on a une distance de 100 km et la distance entre les deux point de steiner est d'environ 42,26 ...
donc on a : 4*100 - 3*42.26 = 273,22km

Hello,
C'est un carré il n'y a pas à prouver qu'il y a deux solutions,  si on en a une on peut évidemment la tourner et/ou la symétriser

Sur les arbres de Steiner en général on peut démontrer assez facilement que leur nœuds intermédiaires ont 3 branches et que ces branches sont à 120degres l'une de l'autre.

Pour les 120 degrés j'ai une demo sans calcul (mais qui ne sera peut être pas comprise de tout le monde, il faut certaines notions):

Imaginons donc 3 points A,B,C dans une disposition non pathologique (pas alignés etc...) et que ces 3 points soient reliés par un nœud intermédiaire avec donc 3 branches.
La fonction distance, qui a un point du plan associe la distance au point A a comme gradient en tout point (sauf A) un vecteur unité radial au point A. La fonction distance totale donc qui a un point du plan associe la somme des distances à  A B et C a donc un gradient qui s'annule lorsque 3 vecteurs unités respectivement radial à A B et C ont une somme nulle, ce qui arrive uniquement au point du plan ou les branches sont a 120deg l'une de l'autre.

Ça prouve extremum et non minimum mais on peut facilement prouver que c'est un min et non un max.
Comme on peut appliquer ce raisonnement sur toute sous partie de notre réseau même lorsque celui ci est plus gros on voit qu'il est stable uniquement dans ces conditions sur chaque nœud intermédiaire.

(Pour prouver qu'un nœud a 4 branches est plus couteux que 3 il faut faire le calcul une fois,  ici je ne prouve que l'histoire des 120 deg)

J'avoue que je ne comprends pas la réponse $x=\frac{5\pi}{6}$ : il me semble que d'après la figure, x ne peut pas dépasser $\frac{\pi}{2}$.