Il a au minimum comme diviseurs le nombre de nombres premiers entre 2 et 50 à une puissance permettant d'atteindre 50

Soit 2^5 x 3^3 x 5^2 x 7^2 x 11 x 13 x 17 x 19 x 23 x 29 x 31 x 37 x 43 x 47 ,
ce qui donne  6x4x3x3x 2^10  +1 = 221185 diviseurs


Entre 51 et 100 , il est au minimum  divisible par

2^6 3^4 5^2 7^2 11 13 17 19 23 29 31 37 43 47 ...  97  soit 

7x5x3x3x2^21 +1 =  = 660602881 diviseurs minimum.

OK Tilapiot.
Non Gwen.
Un oubli dans la 3ème réponse.

1ère question
ce nombre doit être un multiple quelconque de
32*27*25*49*11*13*17*19*23*29*31*37*41*43*47

nombre de diviseurs
6*4*3*3*2^11 =  442 368

2ème question
ce nombre doit être un multiple quelconque de
64*81*25*49*11*13*17*19*23*29*31*37*41*43*47*53*59*61*67*71*73*79*83*89*97

nombre de diviseurs
7*5*3*3*2^21 =  660 602 880

Je dirais au moins 16, ceux sont les nombres suivants :

27
29
31
34
37
38
39
41
43
44
45
46
47
48
49
50

Pour la seconde, je n'ai pas encore réfléchi...

1) Si N est divisible par n'importe quel nombre entre 2 et 50, il est forcement divisible par : 2^5, 3^3, 5^2, 7^2, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 et 47.
Si on combine tous ces diviseurs dans toutes les configuration possible, on obtient: 2^14*3^3 = 442368 combinaisons possibles. Donc ce nombre a au minimum 442368 diviseurs (en incluant 1 et lui-meme, ou 1 et 3099044504245996706400)
2) pour [51-100], je dirais 2^21*3^2*5*7 = 660602880 diviseurs en incluant 1 et lui-meme.

Tout ce qui suit est sous réserve que je ne commets pas une petite erreur de calcul mignonnette ou une grosse erreur de formulation monstrueuse (crevé comme je suis, les deux sont possibles).


Un nombre divisible par tout entier entre 2 et 50 est divisible par [latex]2^5[/latex] (plus grande puissance de 2 inférieure à 50), [latex]3^3[/latex] (pour la même raison), [latex]5^2[/latex], [latex]7^2[/latex] et chacun des 11 nombres premiers compris entre 8 et 50.

Or on sait que le nombre de diviseurs d'un nombre qui se décompose en nombres premiers sous la forme [latex]\sum_{i=1}^N p_i^{\alpha_i}[/latex] est [latex]\prod_{i=1}^N \left( \alpha_i + 1 \right)[/latex]. Ici, ce produit donne [latex]6 \times 4 \times 3^2 \times 2^{11}[/latex] soit 442368.



Pour la deuxième partie, même raisonnement : un nombre divisible par tout entier entre 1 et 50 est divisible par 2^6, 3^4, 5^2, 7^2 et chacun des 21 nombres premiers entre 8 et 100. On obtient donc[latex] 7 \times 5 \times 3^2 \times 2^{21}[/latex] soit 660602880 diviseurs au minimum.

Bonjour,
Ces deux nombres s'écrivent:
X1 = (2^5).(3^3).(5^2).(7^2).11.13.17.19.23.29.31.37.41.43.47
X2 = X1.2.3.53.59.61.67.71.73.79.83.89.97
Le nombre de diviseurs de ces nombres est:
N1 = 6.4.3.3.(2^11) = (2^14).(3^3) = 442 368
N2 = 7.5.3.3.(2^21) = (2^21).(3^2).5.7 = 660 602 880
Bonne journée.
Frank

On commence par calculer le PPCM de l'ensemble des nombres de 1 à 50 :
La puissance de 2 la plus grande inférieure à 50 est 2^5=32
De même, la puissance de 3 la plus grande est 3^3=27
De même, la puissance de 5 la plus grande est 5^2=25
De même, la puissance de 7 la plus grande est 7^2=49
Pour les autres nombres premiers supérieurs à 7 et inférieurs à 50, on prend l'exposant 1.
Le PPCM est donc 2^5 x 3^3 x 5² x 7² x 11 x 13 x 17 x 19 x 23 x 29 x 31 x 37 x 41 x 43 x 47. C'est le Plus Petit nombre Multiple de 2, 3, 4, 5, 6, ..., et 50

Pour trouver un diviseur de ce nombre, on choisit :
une puissance de 2 entre 2^0 et 2^5 (6 possibilités),
puis une puissance de 3 entre 3^0 et 3^3 (4 possibilités),
puis une puissance de 5 entre 5^0 et 5^2 (3 possibilités),
puis une puissance de 7 entre 7^0 et 7^2 (3 possibilités),
puis une puissance de 11 entre 11^0 et 11^1 (2 possibilités),
idem pour 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 et 47 (2 possibilités à chaque fois).

Le nombre total de possibilités, donc le nombre total de diviseurs de ce nombre est : 6x4x3x3x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2=442368 diviseurs (y compris 1 et lui-même)


De même, un nombre divisible par tout nombre compris entre 51 et 100 a au minimum 1024 diviseurs.

Ah oui, c'est amusant ça, j'ai compté 39 dans les nombres premiers. Ca m'apprendra à vouloir les lister de tête plutôt que regarder sur Internet.

On trouve donc:
442 368
et
660 602 880

Rivas OK
NickoGecko, les diviseurs ne sont pas seulement les nombres premiers. Si un nombre est divisible par 2 et 3, il est donc divisible par 6 aussi.
Psykotaker, ta décompo est bonne mais ce n'est pas calculé par une combinatoire, mais plus simplement par un produit. ça se démontre facilement.

Re Re Bonjour !

Argh, mais je me suis complétement fourvoyé sur le sujet !

Un nombre divisible par tous les nombres compris entre 51 et 100 est multiple de :
[TeX]2^{47}*3^{22}*5^{12}*7^8*11^4*13^3*17^2*19^2*23^2*29*31*37*41*43*47[/TeX]
Donc tous les entiers de [latex]2^0[/latex] à [latex]2^{47}[/latex]  le divisent (48 termes)

ainsi que ceux de [latex]3^0[/latex] à [latex]3^{22}[/latex]  (23 termes)

ainsi que ceux de [latex]5^0[/latex] à [latex]5^{12}[/latex]  (13 termes)

etc ....

Le nombre minimal de diviseurs à trouver dans ce cas est le produit de toutes les puissances de la décomposition en facteurs premiers, chacune augmentée de 1.

soit [latex]48*23*13*9*5*4*3*3*3*2*2*2*2*2*2 = 4 464 046 080[/latex] diviseurs


Pour la deuxième question :

Un entier divisible par tous les nombres compris entre 51 et 100 est multiple de :
[TeX]1*2^{50}*3^{26}*5^{12}*7^8*11^5*13^4*17^3*19^3*23^2*29^2*31^2*37*41*43*47*53*59*61*67*71*73*79*83*89*97[/TeX]
Le même raisonnement donne [latex]3.42 * 10^{13}[/latex]  diviseurs ....
mais cela sent le piège ! j'y reviens !


A bientôt,

rivas a écrit:

Ah oui, c'est amusant ça, j'ai compté 39 dans les nombres premiers. Ca m'apprendra à vouloir les lister de tête plutôt que regarder sur Internet.

Oui, ca fait longtemps que 39 ne fait plus parti des nombres premier, au debut 39 s'était infiltré, mais pythagore s'en est apercu et l'a viré, probablement parce qu'il avait trop de diviseurs...