Je me rends compte que ma question n'était pas assez claire ...
Je l'ai donc complétée  :

De combien de manières différentes peut-on assembler ces 9 pièces sans tenir compte des correspondances entre les chiens ?

Bonjour,
Je pose la N ième pièce: j'ai 10-N positions avec 4 orientations possibles.
Pour les 9 pièces, j'ai donc 9! x 4^9 différentes possibilités.
Pour tenir compte de l'orentabilité du plateau complet, je divise le tout par 4.
Finalement j'obtiens donc: 9! x 4^8 = env. 23,8 milliards.
Bonne journée.
Frank
Edit: J'ai modifié ma solution pour ne pas tenir compte de la correspondance des corps des chiens (en plus de la correspondance de leurs couleurs).

Nombre de façons de placer les 9 pièces : [latex]9![/latex]

On tourne chaque pièce comme on veut, donc quatre façons différentes de tourner chaque pièce : [latex]4^9[/latex] possibilités pour chaque arrangement des neuf pièces

On divise finalement par 4 parce que, par rotation, on obtiendra des configurations identiques quatre par quatre.

Résultat final : [latex]9! \times 4^8 = 23 781 703 680[/latex] (pas loin de 24 milliards). Rien que ça

Après vérification qu'aucune pièce ne présente une identité par rotation, chaque pièce est bien différente selon ses 4 rotations possibles.
Il y a donc 9 choix possibles pour la pièce en haut à gauche, et 4 rotations possibles pour cette pièce, soit 36 possibilités pour cette première pièce.
Ensuite 8 possibilités (les 8 pièces restantes) pour la pièce en haut au milieu, à nouveau fois 4 pour ses 4 positions.
Et ainsi de suite, ce qui fait un total de (9x4)x(8x4)x(7x4)...(1x4) donc 95126814720 manières différentes d'assembler les 9 pièces.
Ce résultat suppose que si deux configurations sont identiques par rotation complète du puzzle, elles restent différentes dans le dénombrement.

PS : je crois par contre que ce puzzle qui semble "pour enfant" a très peu de solutions (2 solutions si ma mémoire est bonne)

Bonne réponse de NickoGecko !
Zindy, tu y es presque mais as un peu forcé la dose ...