Le cercle initial a pour diamètre x et non le rayon.

Le programme correspondant à la suite suivante:
[TeX]U_{n+1}=\sqrt{U_n^2+k^2}[/latex] avec [latex]U_1=x/2[/latex] et [latex]k[/latex]=demi corde.

[latex]U_i[/latex] est le rayon du i-eme cercle.

Avec k=x/2,[latex] U_4=2U_1[/TeX]
Avec k=x/5, Excel me dit que [latex]U_{76}=2U_{1}[/latex]

Chouette !!! J'ai bon à une énigme mathématique !

Partant du centre, avec une corde de longueur x, les rayons sont successivement
[TeX]\frac x 2 \,,\,x\sqr{\frac 2 4}\,, \,x\sqr{\frac 3 4}\,, \,x[/latex].

Avec une corde de longueur x/5, ils sont :

[latex]\frac x 2 \,,\,x\sqr{\frac{26} {100}} \,, \,x\sqr{\frac{27x} {100}} \,, \,x\sqr{\frac{28} {100}}\,, \,x\sqr{\frac{29} {100}}\,,\, ...\,, \,x\sqr{\frac{99}{100}}\,,\,x[/TeX]
Il faut donc 75 étapes.

Voici la fonction appliquée à chaque itération :
f(x) = V0,99 * x

Il faut donc trouver N minimal tel que :
0,99^(N/2) =< 1/2

Donc pour moi N = 138.

Plus intéressant comme résultat. Partons d'un cercle de rayon x et on choisit une longueur de corde de x/n (avec [latex]n \in \mathbb{N}[/latex]) alors pour obtenir un cercle de rayon x/2, il faut [latex]3n^2[/latex] itérations.

D'où pour une longueur de corde de x/5, il faut [latex]3 \times 5^2 = 3 \times 25 = 75[/latex] itérations...

75 étapes si je ne me trompe pas.


En effet si on part d'un cercle de rayon r et qu'on y place une corde c, on peut construire dans le cercle un triangle rectangle dont la corde est un coté de l'angle droit et dont l'hypoténuse mesure 2r. (Ça serait mieux avec un dessin mais je ne sais pas faire) Le rayon du cercle suivant est la moitié de l'autre coté de l'angle droit par un théorème de la droite des milieux.
Ce rayon mesure donc 1/2*sqrt(4*r^2-x^2)

Dans l'exemple de looozer, on part avec r=c=x
on a donc ensuite :
1/2*sqrt(3*x^2)
1/2*sqrt(2*x^2)
1/2*sqrt(x^2)=x/2

Dans le problème posé : r=x et c = x/5
Donc on a successivement :
1/2*sqrt(4x^2-x^2/25)=1/2*sqrt(99*x^2/25)
1/2*sqrt(99*x^2/25-x*2/25)=1/2*sqrt(98*x^2/25)
...
1/2*sqrt(25*x^2∕25)=x/2