[TeX](X+1)*(X^2-X+1)[/TeX]
Et depuis quand l'ENAC est rattachée aux Mines ?!

Je trouve (x+1)(x²-x+1)

P1(-1)=0 et P2(-1)=0
Les deux polynômes sont donc divisibles par x+1
[TeX]$\begin{align}
  & {{P}_{1}}\left( x \right)=\left( x+1 \right)\left( {{x}^{5}}-{{x}^{4}}-6{{x}^{3}}+14{{x}^{2}}-14x+7 \right) \\
& {{P}_{2}}\left( x \right)=\left( x+1 \right)\left( 3{{x}^{4}}-3{{x}^{3}}-4{{x}^{2}}+7x-7 \right) \\
&  \\
& 3{{x}^{4}}-3{{x}^{3}}-4{{x}^{2}}+7x-7 \\
& =3{{x}^{4}}-3{{x}^{3}}+\left( 3{{x}^{2}}-7{{x}^{2}} \right)+7x-7 \\
& =3{{x}^{2}}\left( {{x}^{2}}-x+1 \right)-7\left( {{x}^{2}}-x+1 \right) \\
& =\left( 3{{x}^{2}}-7 \right)\left( {{x}^{2}}-x+1 \right) \\
&  \\
& \left( {{x}^{5}}-{{x}^{4}}-6{{x}^{3}}+14{{x}^{2}}-14x+7 \right):\left( {{x}^{2}}-x+1 \right)={{x}^{3}}-7x+7\end{align}$
[/TeX]
le PGCD est donc [latex]$\left( x+1 \right)\left( {{x}^{2}}-x+1 \right)$[/latex]

X^3 + 1

Waow ! Tu es vraiment très fort alors !

A(X) = X^6 − 7X^4 + 8X^3 − 7X + 7

B(x) = 3x^5 − 7x^3 + 3x^2 − 7
=3x²(x^3+1)-7(x^3+1)
=(3x²-7)(x^3+1)
=(3x²-7)(x+1)(x²-x+1)
=3(x-√(7/3))(x+√(7/3))(x+1)(x²-x+1)

Puis plus qu'à vérifier si A est divisible par un ou plusieurs des diviseurs de B.

A(-1)=0 : Ça fonctionne
A(-√(7/3)) et A(-√(7/3)) sont différents de 0. Ils ne fonctionnent pas.
A(x)/(x²-x+1)=x^4+x^3-7x²+7, reste 0.

Le PGCD est donc : (x+1)(x²-x+1)=x^3+1, ce qui donne :
A(x)=(x^3+1)(x^3-7x+7) et
B(X)=(x^3+1)(3x²-7)

X^6−7X^4+8X^3−7X+7=X^6−7X^4+7X^3+X^3−7X+7
                                               =(X^6+7X^3)+(X^3+7)-7X^4-7X
                                                 =X^3(X^3+7)+(X^3+7)-7X(X^3+1)
                                                 =(X^3+1)(X^3+7)-7X(X^3+1)
                                                 =(X^3+1)(X^3-7X+1)

3X^5−7X^3+3X^2−7=3X^2(X^3+1)-7(X^3+1)
                                 =(3X^2-7)(X^3+1)

Donc le pgcd entre ces deux polynômes est [latex]X^3+1[/latex]

Les polynômes (X^3 − 7X + 7) et (3X^2 − 7) n’ont pas de racines communes dans C et sont donc premiers entre eux.
Donc,
(X^6 − 7X^4 + 8X^3 − 7X + 7) ∧ (3X^5 − 7X^3 + 3X^2 − 7) = X^3 + 1.

Très bien pour la majorité d'entre vous !!!

La méthode classique qui marche toujours consiste à utiliser l'algorithme d'Euclide (divisions euclidiennes successives).

Prépa MP milieu de première année je pense.

SabanSuresh a écrit:

Cool j'ai bon. Et qu'est-ce qui passe quand ils ont une racine commune dans C ?

J'ai toujours un infime doute sur ce que j'annonce ci-dessous (bien la peine d'étudier les maths pour douter sur un truc de première S). Par pitié, corrigez-moi si je rate quelque chose, maiiiiiis... je suis quasiment sûr de mon coup.

Si deux polynômes ont une unique racine commune, et qu'il s'agit d'un complexe (de partie imaginaire non nulle, bien sûr), alors au moins l'un des deux a des coefficients complexes (parce qu'au moins l'un des deux n'admet pas le conjugué de cette racine commune comme autre racine). Auquel cas la division s'effectue automatiquement dans C, et le PGCD des deux polynômes ne peut qu'être différent de 1.

S'il y a deux racines communes aux deux polynômes, et qu'il s'agit de deux complexes conjugués, alors il est possible que les deux polynômes soient de coefficients réels, mais cela ne changera en aucun cas le PGCD calculé, puisque le calcul dans R et celui dans C se feront exactement de la même façon. La seule chose qui changera sera notre possibilité de factoriser ce PGCD pour commodités ultérieures

De manière générale, le PGCD de deux polynômes à coefficients dans C est unique, même s'il est possible de le calculer dans un sous-corps de C (R ou Q).

MthS-MlndN a écrit:

S'il y a deux racines communes aux deux polynômes, et qu'il s'agit de deux complexes conjugués, alors il est possible que les deux polynômes soient de coefficients réels.

Sans pinailler, non seulement c'est possible, mais je pense que c'est même obligatoire, puisque: [x-(a+ib)].[x-(a-ib)]=x²-2a.x+a²-b².

Nombrilist a écrit:

Prépa MP milieu de première année je pense.

Merci. La division euclidienne ne résout elle pas directement ?