Au juste c'est quoi l'énigme? J'ai pas compris

Ok d'accord alors dans ce cas, si il relie [latex]\frac{n}{2}[/latex] points les uns à la suite des autres, alors la distance de chocolat, est la même dans les deux cas.
Ça c'était le cas facile !

J'ai pas de conjecture pour le cas général mais j'ai un outil, les nombres complexes, j'imagine qu'on peut faire sans, mais je compte bien m'en servir

Il suffit de définir une rotation k/2n fois 360°.
Par exemple 180° (symétrie par rapport au centre) k=n
Pour tout point choisi on s'interdit d'en prendre l'image dans la rotation.
L'ensemble des points restants se déduit de l'ensemble des points choisis par la rotation.
Il lui est donc identique.

EDIT pour faire comprendre.

Chaque fois que je retiens un point, je m'interdis de prendre par la suite le point diamétralement opposé.
La figure constituée par mes n points est égale à la figure constituée par les n points laissés libres, cette dernière figure étant symétrique de la précédente par rapport au centre du gâteau.

Pas beaucoup de réponses , c'est difficile

Je donne un petit indice dans le message initial et je rajoute un peu de temps .

Vasimolo

Je m'attendais à la réaction shadock

Indice à la con

Il faut prendre les tailles une par une .

Vasimolo

Si je prends un segment de longueur "1" (un sommet d'écartement) et que je le fais tourner autour du cercle, j'aurai une succession de segments de sommets Rouge-Bleu, Bleu-Rouge, Rouge-Rouge et Bleu-Bleu.

Vu que l'on passe 2 fois par chaque point et qu'il y a autant de Rouges que de Bleus, il y aura autant de R-R que de B-B, les autres n'appartenant à aucune des deux figures.

Idem si on fait tourner un segment de longueur "2" ou "3" ...etc jusqu'aux diamètres.

On dessine en noir tous les pts et toutes les liaisons-segments sans se préoccuper des couleurs.
On colorie 1 pt en rouge et aussi en rouge seulement la moitié de la longueur de chaque segment qui part de ce pt rouge. On fait la même chose pour tous les pts rouges et tous les pts bleus (dont on colorie évidemment les 1/2 segments correspondants en bleu). Comme on colorie seulement la moitié d'un segment à la fois, et qu'on colorie exactement 2 fois ce segment puisque il a 2 points extrémités, à la fin du coloriage, tous les segments sont coloriés, soit en totalité en rouge, soit en totalité en bleu, soit moitié en bleu, moitié en rouge .
La longueur de tous les 1/2 segments coloriés associés à un pt est invariante pour chaque pt rouge ou bleu du fait de la répartition uniforme des pts sur le cercle.
Il y a donc autant de coloriage total rouge que bleu, car autant de pts rouges que de pts bleus.

Maintenant, si on ôte les segments mi rouge/ mi bleu, liaisons illicites entre les pts rouges et les pts bleus, on ôte autant de longueur de rouge que de bleu.

Quand on a fini, la longueur restante rouge est donc égale à la longueur restante bleue, puisqu'on a ôté à chacune des couleurs la même longueur.

Bonsoir,

Bon, comme d'habitude il doit y avoir un peu plus simple, mais bon, allons-y quand même

Supposons que nous ayons 2n points autour du gâteau, alors il y a 2n segments possibles pour chaque longueurs, sauf pour le diamètre où l'on a n segments possibles.

Lemme 1 : Il y a autant de "diamètre" dans une "moitié de points" que dans l'autre.

     En effet, k diamètres relient 2k points. Supposons que l'on ait k diamètres dans
     une "moitié de points" alors le nombre de diamètres restant est n-k, mais il y a
     n-2k points qui occupe l'extrémité d'un de ces n-k diamètre (oui, parce que une
     moitié de points c'est n-2k +2k = n points), donc dans l'autre moitié nous avons
     n-k - (n-2k) = k diamètres.

Pour les autres mesures de segments, nous en avons 2n de chaque.
Supposons que nous ayons k segments de longueur i sur une "moitié de points".
Supposons que ces k segments sont répartis sur b composantes connexes.
Alors le nombre de points utilisé par ces k segments est k + b.
Et le nombre de segments de longueur i possible restant est :
2n - k - 2b
(et oui car contrairement au diamètre, pour chaque points il y a 2 segment possible de longueur i, donc parmi les 2n il faut enlever les k morceaux, mais aussi les segments qu'il y aurait pu y avoir aux extrémités des composantes connexes, c'est-à-dire 2b)

Mais il y a n - (k+b) points qui occupent l'extrémité d'un de ces segments. chacun de ces n - k - b points pénalise deux segments de longueur i, donc le nombre de segment de longueur i dans l'autre "moitié" est :
2n - k - 2 b - 2(n - k - b) = k

Donc dans chaque "moitié" il y a autant de segments de chaque longueurs. CQFD.

nodgim a écrit:

... Il est clair également que tous les pts rouges ou bleus ont chacun la même longueur totale coloriée...

Vasimolo

@Franky : c'est pas loin , il faut fouiller un peu .
@Dylasse : je t'avais oublié , c'est bon

Vasimolo

Ce que j'ai fait c'est dans l'idée, ou y a-t-il un argument plus simple ?

Ce qui n'est pas compris est mal rédigé...
J'ai changé quelques phrases et supprimé les "il est clair" et "il est évident", car si ça l'est pour moi, c'est pas du tout sûr que ce le soit pour le lecteur, la preuve. Et en plus, ça n'apporte rien à la démo.

N'hésite pas à me dire ce qui n'est pas encore clair.