Il y a une solution géométrique sans aucun calcul

Vasimolo

Le hasard ne fait pas toujours bien les choses

Vasimolo

Il se trouve sur le barycentre du gâteau non ?
Je ferai le dessin plus tard.
(On prend le milieu de chaque côté du gâteau, et on trace les deux droites passant par les milieux opposés, elles se coupent en un point O.)

Shadock

Bon j'ai donné une soluce géométrique, je ne sais pas s'il y a plus simple.

Je ne sais pas si cela répond entièrement à la question.
J'ai trouvé ça dans un vieux pb (gâteau 6). Il est facile de montrer que ça donne une solution Puisque B et D sont équidistants de (AC), les triangles ABC et ADC ont même aire.
Si on prend O milieu de [AC], les médianes[OB] et [OD] coupent les deux précédents triangles en deux parties égales.
D'où le résultat escompté dans ce cas particulier.


Maintenant s'il faut montrer que la condition est nécessaire pour pouvoir réussir une construction, je n'ai pas trouvé.

C'est vrai que j'ai seulement réalisé le partage correct 2 à 2 (ceux des cotés se faisant face) mais pas les 4 ensemble.
Aussi, j'en reviens à mon idée première en disant que seuls des cas particuliers peuvent marcher, et que ça ne marche pas dans le cas général.
ça marche avec le losange, mais pas avec le parallélogramme.

Un petit bilan et j'ajoute un indice dans le message initial .

@Nodgim : essaie sur des exemples où tu sais faire smile
@Psykotaker et Klimrod : vous avez raison de douter , O n'est pas le centre gravité ( en général ) .
@Shadock : non ce n'est pas le point d'intersection des médianes .

Esereth et TiLapiot : vous avez la réponse , il ne manque plus que la preuve smile

Vasimolo

PS : j'ajouterai peut-être un peu de temps si on me le demande poliment

Personnellement je ne suis pas fan des sujets qui traînent en aveugle sur une semaine ou plus .

C'est l'idée , halloduda , mais la conclusion n'est pas bonne



Vasimolo

Il faut qu'une diagonale (au moins) passe par le milieu de l'autre.
Ce milieu est alors le point O recherché.  => j'y retourne j'aurais dû vérifier

Voilà mieux :

Il faut qu'une diagonale passe par le milieu de l'autre.
Le milieu de la première est alors le point O recherché.


Beaucoup moins simple qu'il n'y paraît ce gâteau (et merci pour les indices qui m'ont motivé à me relancer alors que j'avais lâchement laissé tomber )

Bizarre, pourtant ça marche chez moi :

Je m'en vais rédiger une petite preuve...

Si O est le point tel que ABO et BCO ont la même aire et sachant que BO est une base commune à ces deux triangles, les hauteurs relatives à BO dans ces deux triangles doivent être égales (et parallèles).

Elles déterminent donc un parallélogramme dont une diagonale est AC et l'autre BO. La droite BO doit donc forcément passer par le milieu M de AC.

Dans le quadrilatère ABCD, O doit donc se trouver sur BM.
Par analogie, il doit aussi se trouver sur DM. O ne peut donc être que M lui-même.

A ce stade ABO et BCO ont même aire, ADO et DCO également.
Pour que les 4 aient la même aire, il faut encore que CN et AN (N étant le milieu de BD) passent également par M, ce qui arrivera si N appartient à AC.

Je ne suis pas très simple, sans doute, mais je n'ai pas mieux pour ma défense ;-)

PS : J'ai modifié mon dessin pour qu'il corresponde à l'énoncé et à mes explications.

Si, dans un quadrilatère ABCD, deux sommets opposés (par exemple B et D) sont à égale distance de la diagonale formée par les deux autres sommets (dans notre exemple, la diagonale AC), alors on peut trouver très facilement le point O, il sera au milieu de la diagonale, donc tel que AO=OC.

Pourquoi ça marche ? Eh bien O étant au milieu de la diagonale, les triangles AOB et BOC ont une base de même longueur (AO=OC), ils ont la même hauteur h1, donc la même aire (base x hauteur/2). De même, les triangles AOD et DOC ont une base de même longueur (AO=OC), ils ont la même hauteur h2, donc la même aire (base x hauteur/2).
Or notre quadrilatère a ses deux sommets B et D à égale distance de la diagonale AC, donc les deux hauteurs h1 et h2 sont égales de part et d'autre de la diagonale du quadrilatère. Les aires des quatre triangles, donc des quatre parts de gâteau, sont égales, et tout le monde est content, sauf les gourmands qui aiment bien avoir la part la plus grosse...!

Pour que les triangles aient la même aire, il faut que les hauteurs issue des sommets opposés à leur face commune soient de même longueur.

Le milieu de [BD] appartient donc à la droite (OC) ainsi qu'à la droite (OA)
Idem pour le milieu de [AC] qui appartient donc à la droite (OB) ainsi qu'à la droite (OD)

Pour que ces deux conditions soient réunies, il faut que le milieu d'une des diagonales (au moins) appartienne à l'autre diagonale. Le point O est alors le milieu de cette seconde diagonale.



En espérant être clair...