$$10\sqr 2\approx 14.14$$
On trouve facilement le centre -10, -2.
Et la puissance de la cerise par rapport au Saint-Pierre
=d²-R²=-8x12=-24x4=10²+2²-R²
d'où R²=96+4+100=200.

Si l'on choisit la cerise comme centre d'un repère orthonormé, alors trois points appartenant au cercle sont: $(0;8)$ , $(0;-12)$ et $(-24;0)$

Ces trois points satisfont alors l'équation $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$ avec bien sûr $(a,b)$ les coordonnées du centre dans ce repère et $R$ le rayon.

Pas besoin de calcul pour voir que $b=-2$ car la cerise est à $2$ du milieu de l'arc la corde vertical.

Les points $(0;8)$ et $(-24;0)$ nous donnent le système: $\left\{ \begin{tabular}{r c l} a^2+(8-b)^2 &=& R^2\\ (-24-a)^2+b^2 &=& R^2 \end{tabular} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{tabular}{r c l} a^2+100 &=& R^2\\ a^2+48a+24^2+4 &=& R^2 \end{tabular}$

Qui une fois résolu nous donne $a=-10$ et $R=10\sqrt{2}$

EDIT: La corde et non l'arc vertical.

socato314-gateau39.pdf

On a:
abc/2S=2R
a=20
b=12rac(5)
c=8rac(5)rac(2)
On obtient b et c par Pythagore

Donc R=(20*12rac(5)*8rac(5)rac(2))/(20*24*4)
après simplification:
R=10rac(2)

1ère méthode:

En partant de l'équation du cercle:

(a-x)²+(b-y)²=r²

J'ai le système de 3 équations à 3 inconnues suivants en prenant la cerise comme origine (0,0):

a²+(b-8)²=r²
a²+(b+12)²=r²
(a+24)²+b²=r²

En soustrayant les deux premières, on trouve b=-2.
En soustrayant les deux dernières, on trouve a=-10.
D'où r=10V2.

2ème méthode:

En utilisant la peu connue formule du rayon:

r = (a+b+c) V(-c/a)

avec a=24, b=8 et c=-12

r= 10V2

En posant les équations, je trouve $R=sqrt{200}=10*sqrt{2} = 14.14213562...$

Soient A, B et C les extrémités des segments de longueurs respectives 24, 12 et 8, D le point de la cerise et O le centre du cercle.

L'angle BAD vaut arctg (1/2), l'angle DAC vaut arctg (1/3).
La somme de ces 2 arcs vaut, comme par hasard, 45°.
L'angle BAC vaut donc 90°.
Le triangle OBC, à la fois isocèle et rectangle a une hypoténuse = 20, le rayon du SaintPierre vaut donc $10* \sqrt 2$, soit environ 14.14 (cm ??)

Je note A la cerise et B,C,D les autres points numérotés dans le sens trigonométrique .

On a $DB/sin(\widehat{DCB})=2R$ où R est le rayon cherché.
$$sin(\widehat{ACB})=8/\sqrt{24^2-8^2}$$ $$cos(\widehat{ACB})=24/\sqrt{24^2-8^2}$$ $$sin(\widehat{ACD})=12/\sqrt{24^2-12^2}$$ $$cos(\widehat{ACD})=24/\sqrt{24^2-12^2}$$
$R=10.192\sqrt{6}/24*20=4\sqrt{6}$.

J'ai juste un doute sur les formules de trigonométrie et les angles géométriques.

Au moins , il  y a des réponses ...

On cherche quoi  ?  A première vue , il existe une solution  en quelques mots qu'on loupe. Un indice ?

Vasimolo dit moi juste si la faute est dans le raisonnement.
J'utilise la formule d'addition à la fin, ais-je le droit?
J'avais une petite faute de calcul.
Merci.

Je prendrais les notations de la figure de Franck9525.
On a b²=a²+b²-2abcos(b) d'où après quelques calculs en utilisant pythagore cos²(b)=1/2. On a donc sin²(b)=1/2 , or b/sin(b)=2R car c'est le cercle circonscrit...


Je n'ai pas détaillé, c'est juste pour montrer l'idée.

Merci pour toutes ces réponses

J'avais procédé à peu près comme halloduda . La puissance de la cerise par rapport au cercle vaut 8X12=24X4 , on connait donc la taille des deux cordes . On trace les médiatrices ( en rouge sur le dessin ) et Pythagore donne immédiatement le rayon du Saint-Pierre .



C'est toujours intéressant de voir le nombre incroyable d'approches possible pour un simple petit exercice , c'est ce qui fait le charme de la géométrie .

Vasimolo

Edit : pour ceux que la puissance d'un point par rapport à un cercle n'inspire pas trop , on peut aussi remarquer que les quatre triangles rectangles sont semblables 2 à 2 ( en observant les angles ) et on retrouve le 4 manquant .