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#1 - 29-05-2011 19:38:42
- Vasimolo
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#2 - 29-05-2011 20:39:01
- halloduda
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gâtrau 39
[TeX]10\sqr 2\approx 14.14[/TeX] On trouve facilement le centre -10, -2. Et la puissance de la cerise par rapport au Saint-Pierre =d²-R²=-8x12=-24x4=10²+2²-R² d'où R²=96+4+100=200.
#3 - 29-05-2011 20:50:26
- gwen27
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fâteau 39
2r =abc / 2s r = abc / 4s
s=24*20/2 = 24 * 10 = 240 a=rac(8^2+24^2) = rac (640) b=rac(24^2+12^2)= rac(720) c= 8+12 = 20
r= rac (184320000) / 960
r =rac(200) = 10 rac(2)
Au pif, je me lance ....
#4 - 29-05-2011 22:15:16
- Kikuchi
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fâteau 39
Si l'on choisit la cerise comme centre d'un repère orthonormé, alors trois points appartenant au cercle sont: [latex](0;8)[/latex] , [latex](0;-12)[/latex] et [latex](-24;0)[/latex]
Ces trois points satisfont alors l'équation [latex](x-a)^2+(y-b)^2=R^2[/latex] avec bien sûr [latex](a,b)[/latex] les coordonnées du centre dans ce repère et [latex]R[/latex] le rayon.
Pas besoin de calcul pour voir que [latex]b=-2[/latex] car la cerise est à [latex]2[/latex] du milieu de l'arc la corde vertical.
Les points [latex](0;8)[/latex] et [latex](-24;0)[/latex] nous donnent le système: [latex] \left\{ \begin{tabular}{r c l} a^2+(8-b)^2 &=& R^2\\ (-24-a)^2+b^2 &=& R^2 \end{tabular} \right.
\Rightarrow
\left\{ \begin{tabular}{r c l} a^2+100 &=& R^2\\ a^2+48a+24^2+4 &=& R^2 \end{tabular} [/latex]
Qui une fois résolu nous donne [latex]a=-10[/latex] et [latex]R=10\sqrt{2}[/latex]
EDIT: La corde et non l'arc vertical.![roll](img/smilies/roll.png)
There's no scientific consensus that life is important
#5 - 29-05-2011 22:55:46
- Vasimolo
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hâteau 39
Déjà trois bonnes réponses et trois méthodes différentes ![wink](img/smilies/wink.png)
Vasimolo
#6 - 30-05-2011 00:19:53
- socato314
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#7 - 30-05-2011 10:54:25
- Autleaf
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Gtâeau 39
On peut exprimer simplement le diamètre d'un cercle circonscrit à un triangle grâce à la formule :
D = abc/(2S)
a = 20, et on utilise Pythagore pour b et c :
b = racine (24²+12²) = 26.8328... c = racine (24²+8²) = 25.2982...
S = 20*24/2 = 240
D'où le diamètre :
D = 28.2842712... Cohérent par rapport à la valeur attendue en voyant le dessin ![smile](img/smilies/smile.png)
#8 - 30-05-2011 11:40:51
- racine
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Gâeau 39
On a: abc/2S=2R a=20 b=12rac(5) c=8rac(5)rac(2) On obtient b et c par Pythagore
Donc R=(20*12rac(5)*8rac(5)rac(2))/(20*24*4) après simplification: R=10rac(2)
#9 - 30-05-2011 11:42:10
- rivas
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Gâteu 39
Enfin un gâteau que je peux croquer...
Je considère le triangle formé par les 3 points d'intersection entre le cercle et les segments pointillés. Les longueurs des côtés sont: [latex]20; 8.\sqrt{10}(=\sqrt{8^2+24^2}); 12.\sqrt{5}(=\sqrt{12^2+24^2})[/latex].
On cherche le rayon du cercle circonscrit à ce triangle, qui est donné par la formule (à connaître absolument): [TeX]R=\dfrac{abc}{4S}[/TeX] Reste à connaître S. Le triangle étant rectangle "en la cerise", sa hauteur vaut 24 et sa base 20, donc sa surface: 20*24/2.
Finalement [latex]R=\dfrac{20\times8\sqrt{10}\times12\sqrt{5}}{4\times12\times20}=10\sqrt{2}[/latex].
Pas la peine de préciser la dédicace ![smile](img/smilies/smile.png)
Merci pour cette énigme.
#10 - 30-05-2011 12:00:53
- Milou_le_viking
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Gtâeau 39
1ère méthode:
En partant de l'équation du cercle:
(a-x)²+(b-y)²=r²
J'ai le système de 3 équations à 3 inconnues suivants en prenant la cerise comme origine (0,0):
a²+(b-8)²=r² a²+(b+12)²=r² (a+24)²+b²=r²
En soustrayant les deux premières, on trouve b=-2. En soustrayant les deux dernières, on trouve a=-10. D'où r=10V2.
2ème méthode:
En utilisant la peu connue formule du rayon:
r = (a+b+c) V(-c/a)
avec a=24, b=8 et c=-12
r= 10V2
#11 - 30-05-2011 12:09:03
- Franky1103
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Gâteau 9
Bonjour, Soit la cerise l'origine du repère orthonormé. Soient le point M(x;y) le centre du cercle et R son rayon. Par symétrie, on voit que l'ordonnée y vaut -2. L'abscisse x est telle que (-x)² + 100 = R² soit x = V(R²-100). On écrit que le point à gauche appartient au cercle: (24 - V(R²-100))² + 4 = R² et on trouve R = 10V2 = 14,142 env. Bonne journée. Frank
#12 - 30-05-2011 12:53:34
- dhrm77
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Gâteua 39
En posant les équations, je trouve [latex]R=sqrt{200}=10*sqrt{2} = 14.14213562...[/latex]
Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt
#13 - 30-05-2011 13:36:01
- franck9525
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gâreau 39
Le diametre du cercle circonscrit est D=abc/2A=2R avec A=bh/2 on obtient [TeX]R=\frac{\sqrt{(24^2+8^2)(24^2+12^2)}}{48}=10\sqrt2[/TeX] Edit: On note que le centre du gâteau est le centre du carré inscrit de côté 20 ce qui indique que d'autres méthodes de résolution plus astucieuses sont probablement envisageables.
![http://www.prise2tete.fr/upload/franck9525-gato39.png](http://www.prise2tete.fr/upload/franck9525-gato39.png)
on cherche à calculer l'angle [latex]\alpha+\beta[/latex] [TeX]tan(\alpha+\beta)=\frac{tan(a)+tan(b)}{1-tan(a)tan(b)}[/TeX][TeX]tan(\alpha+\beta)=\frac{\frac{8+12}{24}}{1-\frac{8*12}{24^2}}=1[/TeX] donc [latex]\rm\alpha+\beta=45~deg[/latex] ce qui implique que b=20 est le côté du carré inscrit
The proof of the pudding is in the eating.
#14 - 30-05-2011 14:28:19
- Jackv
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GGâteau 39
Soient A, B et C les extrémités des segments de longueurs respectives 24, 12 et 8, D le point de la cerise et O le centre du cercle.
L'angle BAD vaut arctg (1/2), l'angle DAC vaut arctg (1/3). La somme de ces 2 arcs vaut, comme par hasard, 45°. L'angle BAC vaut donc 90°. Le triangle OBC, à la fois isocèle et rectangle a une hypoténuse = 20, le rayon du SaintPierre vaut donc [latex]10* \sqrt 2[/latex], soit environ 14.14 (cm ??)
#15 - 30-05-2011 23:12:58
- Vasimolo
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GGâteau 39
Encore plein de bonnes réponses avec des méthodes toujours originales ![smile](img/smilies/smile.png)
La réponse que j'attends ( ou plutôt son auteur ) n'est toujours pas au rendez-vous , patience ...
Vasimolo
#16 - 31-05-2011 09:39:47
- Yanyan
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gâyeau 39
Je note A la cerise et B,C,D les autres points numérotés dans le sens trigonométrique .
On a [latex]DB/sin(\widehat{DCB})=2R [/latex] où R est le rayon cherché. [TeX]sin(\widehat{ACB})=8/\sqrt{24^2-8^2}[/TeX][TeX]cos(\widehat{ACB})=24/\sqrt{24^2-8^2}[/TeX][TeX]sin(\widehat{ACD})=12/\sqrt{24^2-12^2}[/TeX][TeX]cos(\widehat{ACD})=24/\sqrt{24^2-12^2}[/TeX] [latex]R=10.192\sqrt{6}/24*20=4\sqrt{6}[/latex].
J'ai juste un doute sur les formules de trigonométrie et les angles géométriques.
Un mathématicien complet est topologiquement fermé!
#17 - 31-05-2011 22:07:05
- catduc
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#18 - 31-05-2011 22:29:30
- gwen27
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Gâteu 39
Au moins , il y a des réponses ...
On cherche quoi ? A première vue , il existe une solution en quelques mots qu'on loupe. Un indice ?
#19 - 31-05-2011 22:54:58
- Vasimolo
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GGâteau 39
Les trois dernières réponses sont incorrectes ![hmm](img/smilies/hmm.png)
Je ne donnerai pas d'indice car il y a de très nombreuses approches possibles dont certaines très simples ( avec quelques souvenirs de géométrie de lycée ) .
Vasimolo
#20 - 01-06-2011 07:39:39
- Yanyan
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gâreau 39
Vasimolo dit moi juste si la faute est dans le raisonnement. J'utilise la formule d'addition à la fin, ais-je le droit? J'avais une petite faute de calcul. Merci.
Un mathématicien complet est topologiquement fermé!
#21 - 01-06-2011 09:29:35
- Yanyan
- Expert de Prise2Tete
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Gâtau 39
Avec les mêmes idées au départ mais en utilisant Al-Kashi j'arrive à
[latex]10\sqrt{2}[/latex].
Je détailerai si c'est juste et si personne n'a fait comme cela.
Au fait, je suis une bille en géometrie.
Un mathématicien complet est topologiquement fermé!
#22 - 01-06-2011 20:21:25
- Yanyan
- Expert de Prise2Tete
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- Lieu: Lille si j'y suis
Gâteau 3
Je prendrais les notations de la figure de Franck9525. On a b²=a²+b²-2abcos(b) d'où après quelques calculs en utilisant pythagore cos²(b)=1/2. On a donc sin²(b)=1/2 , or b/sin(b)=2R car c'est le cercle circonscrit...
Je n'ai pas détaillé, c'est juste pour montrer l'idée.
Un mathématicien complet est topologiquement fermé!
#23 - 02-06-2011 00:42:55
- shadock
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âteau 39
J'ai honte de ne pas avoir réussit à utiliser l'équation du cercle correctement alors que c'est le dernier chapitre que j'ai fait ! ![mad](img/smilies/mad.png) Heureusement j'ai compris toutes le réponses ![big_smile](img/smilies/big_smile.png)
"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline
#24 - 02-06-2011 10:21:49
- Vasimolo
- Le pâtissier
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Gâetau 39
Merci pour toutes ces réponses ![smile](img/smilies/smile.png)
J'avais procédé à peu près comme halloduda . La puissance de la cerise par rapport au cercle vaut 8X12=24X4 , on connait donc la taille des deux cordes . On trace les médiatrices ( en rouge sur le dessin ) et Pythagore donne immédiatement le rayon du Saint-Pierre .
![http://img40.imageshack.us/img40/5305/saintpierresolution.jpg](http://img40.imageshack.us/img40/5305/saintpierresolution.jpg)
C'est toujours intéressant de voir le nombre incroyable d'approches possible pour un simple petit exercice , c'est ce qui fait le charme de la géométrie .
Vasimolo
Edit : pour ceux que la puissance d'un point par rapport à un cercle n'inspire pas trop , on peut aussi remarquer que les quatre triangles rectangles sont semblables 2 à 2 ( en observant les angles ) et on retrouve le 4 manquant .
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