Il est évident que ; $\sqrt[3]{3}$ est une solution! reste à démontrer qu'elle est la seule

Toutes ces équations admettent l'unique solution $3^{1/3}$

En géneralisant, on a aussi l'unique solution $n^{1/n}$

Désolé d'avance pour la présentation de sagouin...

On s'met tranquilou sur R+* et on passe en forme exponentielle...

e( x^3 * ln(x) ) = 3
x^3 * ln(x) = ln(3)
1/3 * x^3 * ln(x^3) = ln(3)

On pose X=x^3 et on va montrer que X=3 ( enfin j'espère )

X/3 * ln(X) = ln(3)
ln(X^(X/3)) = ln(3)
X^(X/3) = 3
X^X=27

Et la je bloque...
Peut-être une étude des fonctions, je cherche, je cherche...

Un truc comme f strictement croissante sur [1;+8[ de plus f(3)=27 [...]
Donc X=3 et x=3^(1/3)

Rholalala, que je ne suis pas propre dans mon raisonnement !

J'abandonne pour le reste

Amusant aussi celle-ci.

x est forcément positif si on veut rester dans les réels (ce que je suppose).
Vu la forme de l'équation, je pose $x=3^\alpha$.

L'équation devient:
$3^{\alpha.3^{3\alpha}}=3$ soit $\alpha.3^{3\alpha}=1$.
Ici aussi $\alpha$ doit être positif et vu la forme, je pose:
$\alpha=3^{\beta}$.
L'équation devient:
$3^{\beta+3^{\beta+1}}=1$, d'où: $\beta+3^{\beta+1}=0$.

En étudiant $f(x)=x+e^{(x+1)ln3}$ on s'aperçoit qu'elle est est strictement croissante (dérivée strictement positive).
Il ne peut donc n'y avoir une valeur $\beta$ telle que $f(\beta)=0$.
Cette valeur est d'ailleurs strictement négative (car f(0)>0).

Or une solution (relativement) évidente est $\beta=-1$.

C'est donc la seule solution qui donne pour solution de l'équation initiale $\sqrt[3]{3}$ qui se vérifie aisement.

On généralise sans aucune difficulté le premier cas $x^{x^n}=n$ à $\sqrt[n]{n}$.
Le deuxième semble plus délicat.

Merci pour cette énigme.

Hmmm, pas simple !

alors x^(x^3)=3
(x^3).ln(x)=ln3
(x^3).ln(x^3)=3.ln3

on pose X=x^3

X.lnX=3.ln3

On voit effectivement de suite que X=3 est solution, d'où x=3^(1/3).

Ensuite on pose f(X)=X.lnX définie sur R+*

f'(X)=lnX+1
f'<0 sur ]0;1/e[,
f'=0 en 1/e
f'>0 sur ]1/e;+oo[

lim (X->0;f(X))=0
Comme f est décroissante sur ]0;1/e[, f(X)=3.ln3 n'a donc pas de solution sur ]0;1/e[

f est monotone sur ]1/e;+oo[, donc X=3 est bien seule solution à f(X)=3.ln3

De même g(x)=x^3 est strictement croissante sur R, donc x=3^(1/3) est la seule solution.