Ne suffit-il pas de changer de plateau les objets contenant du bleu ? Il y aurait 2g à gauche, et 3g à droite !

Il faudrait peut-être préciser si la balance est juste, fidèle et précise .

Si il y a par exemple une cale qui l’empêche de bouger, on pourra mettre tout ce que l'on veut sur le plateau de droite sans qu’elle penche de ce coté (à moins d'atteindre la rupture) !

Il n'y a pas de piège , la balance penche du côté où la masse est la plus importante et les plateaux ne sont pas bloqués

Mathias , le mal de tête c'est un peu la marque de fabrique de ce site , là où on met la prise ça fait toujours un peu mal

Amusez-vous bien quand même

Vasimolo

@Nodgim , nos approches sont apparemment très voisines mais je ne comprends pas trop ce que tu mets en début de ligne dans tes tableaux et comment tu peux ensuite généraliser avec n couleurs .

Vasimolo

J'avais bien compris tout ça et ce n'est pas ma question

Tes lignes sont rangées dans un ordre correspondant à certaines inversions , comment est défini cet ordre . Sinon je vois mal comment fonctionne ta récurrence .

Vasimolo

La somme nulle sur chaque colonne est assez facile à établir , ça ne suffit pas pour conclure directement ?

Vasimolo

Je veux dire que la somme nulle sur chaque colonne ne veut pas dire forcément que tu peux arranger les lignes comme tu le dis . Par contre ça permet de résoudre le problème aisément

Vasimolo

Une solution détaillée car le problème n’est pas si simple .

Je reprends les notations de Nodgim c'est à dire que les couleurs sont notées [latex]A[/latex] , [latex]B[/latex] , [latex]C[/latex] ,... et les différentes masses [latex]A[/latex] , [latex]AB[/latex] , [latex]ABC[/latex] , ... En tolérant les masses négatives on peut tout regrouper sur le plateau de gauche avec une seule masse pour chaque ensemble de couleurs .

En n’écrivant que les termes non nuls , l'exemple proposé dans le message initial se traduit par :

[latex]BR+V+VR>0[/latex] avec [latex]BR=1[/latex] , [latex]V=1[/latex] et [latex]VR=-1[/latex] .

Quelques remarques préliminaires :

Déplacer une couleur c'est changer le signe de toutes les masses qui ont cette couleur .  Le choix de plusieurs couleurs peut donc être assimilé à celui d’une partie de l'ensemble des couleurs . Si on note [latex]M[/latex] les couleurs d'une masse donnée et [latex]C[/latex] et l'ensemble des couleurs choisies pour les déplacements alors le signe attribué à la masse [latex]M[/latex] change si et seulement si  [latex]|M\cap C|[/latex] est impair .

Par exemple avec une masse [latex]ABC[/latex] initialement à gauche :

les choix de couleurs : [latex]D[/latex] , [latex]ACD[/latex] , [latex]BCD[/latex] , ... laissent la masse en place .
les choix de couleurs : [latex]AD[/latex] , [latex]ABC[/latex] , [latex]BD[/latex] , ... changent la masse de plateau .

Tout cela a été plutôt bien expliqué par Nodgim .

Maintenant si on note [latex]E=\{1,2,3,\ldots,n\}[/latex] l'ensemble des couleurs , les masses sont les parties [latex]A[/latex] non vides de [latex]E[/latex] auxquelles on attribue un nombre . Si on applique l'ensemble des mouvements possibles à une masse donnée [latex]A[/latex] il est clair que celle-ci va passer la moitié de son temps à gauche et l'autre à droite ( on peut le démontrer proprement en calculant [latex]\sum_{B\subset E}(-1)^{|A\cap B|}=0[/latex] ) . Alors en ajoutant ces [latex]2^n[/latex] balances on obtient un total nul . Comme la position initiale est strictement positive il existe une position strictement négative qui correspond à une balance penchant à droite .

J’espère que ces quelques précisions , ajoutées aux commentaires de Nodgim , permettrons à ceux qui ont cherché sans trouver de comprendre la solution .

Merci pour la participation

Vasimolo