Je ne comprends pas le "au mieux" une probabilité de change pas pour un évènement donné.

Shadock

Ce problème étant très ouvert, je le mets de suite en sujet libre afin de favoriser les discussions.

C'est bien là le débat: tout comme les nombres premiers qui ne sont pas aléatoires, mais néanmoins dont leur identification est difficile par une formule, la suite de Syracuse, bien qu'étant déterministe, offre tout de même une complexité assimilable par certains aspects à de l'aléatoire.

D'accord. Au fond c'est mieux comme ça, sinon ça va s'enliser...
L'idée est que la suite de Syracuse a la facheuse tendance à désorganiser complètement la position des nombres successifs de la suite vis à vis de la position du nombre initial par rapport à tous les nombres premiers qui lui sont inférieurs.
Pour un nombre premier p donné, on peut créer un automate modulo p qui rend compte de son comportement vis à vis de l'algorithme de la suite.

Pour p=5 par exemple
1ère série: les divisions par 2, qui seront lues au rebours de la multiplication par 2:
1->2->4>3>1 et 0->0

2ème série, la fonction 3n+1:
1->4->3->0->1  et 2->2. 

A chaque nombre premier, on peut donc associer ce genre d'automate.

Ensuite, on peut associer à un nombre donné (impair au départ, par convention)
la suite des puissances de 2 qui divisent chaque nombre avant qu'il ne soit impair: par exemple pour 11->34 puis 17 (donc 1)->52 puis 26 puis 13 (donc 2)->40 puis 20 puis 10 puis 5 (donc 3) ->16 puis 8 puis 4 puis 2 puis 1 (donc 4).
11 est donc caractérisé par la suite 1 2 3 4 2 2 2 .....

Bien entendu, toutes les formes de suite existent. Les 1 sont statistiquement plus nombreux que les 2 eux mêmes plus nombreux que les 3,....mais bon à priori on peut établir n'importe quelle suite.

Un nombre est aussi caractérisé par sa position vis à vis des modulos des nombres premiers:
13 est le nombre qui vaut modulo (3,5,7,11,13): (1,3,6,2,0)

Pour qu'un nombre comme 13=(1,3,6,2,0) revienne à sa position initiale après être passé dans l'algo, il faut qu'il retrouve cette configuration (1,3,6,2,0). Or, en appliquant l'algo aux 5 automates 3,5,7,11,13, on trouvera des résultats complétement différents.
Pour une suite quelconque de l'algo, on peut dire que grosso modo, la répartition des résultats d'un automate p donne une répartition à peu près équivalente pour chaque nombre compris entre 0 et p-1. Et donc que l'espérance de retrouver la valeur initiale de départ est d'environ p. Si on associe tous les nombres premiers inférieurs à un nombre donné auquel on applique l'algo, l'espérance de retrouver chaque valeur initiale au même moment serait donc de p!, auquel il faut ôter l'automate des nombres premiers 2 et 3.
Espérance p!/6

Imaginons le nombre 7919, qui est le millième nombre premier. Au lieu d'écrire 7919, on écrit la suite des 7917 nombres modulo tous les nombres premiers compris entre 5 et 7919. 998 nombres premiers qui sont autant d'automates différents (justement parce qu'ils sont premiers entre eux). La probabilité de retrouver le nb initial par application de l'algo vaut quasiment zéro.

Pourtant 7919 n'est pas un grand nombre. Que dire d'un nombre de 15 chiffres ?
Il est à noter que plus un nombre est grand, et plus p! est grand, et ça grandit de plus en plus vite même si les nombres premiers se "raréfient".

Ce n'est donc pas étonnant si on n'a pas encore trouvé de boucles.

Merci de donner vos avis. Si vous ne comprenez pas mon charabia, n'hésitez pas à poser des questions, j'y répondrai aussi clairement que possible.