Les solutions sont données par
[TeX]y=z\not=0[/TeX]
[TeX]y=z\not=1[/TeX]
[TeX]x=-\frac{y^2}{1-y}[/TeX]
Les bornes sont données par [latex]x<=0[/latex] ou [latex]x>=4[/latex].

y=z

C'est l'équation d'une conique, intersection du plan y=z et du cylindre x=xy-y²

C'est l'hyperbole [latex]z=y=\frac12(x\pm\sqrt{x^2-4x})[/latex]
définie pour [latex]x\le 0\,et \,x\ge4[/latex].

Salut !

x/y = x - z (1)
x/z = x - y (2)

(1)-(2) : x(z-y)=y-z
Donc  si y=z alors x peut prendre n'importe quelle valeur,
sinon x=-1 et alors :
1/y=1+z
1/z=1+y

1=y+yz (a)
1=z+yz (b)

donc (a-b) : y=z et y²+y-1=0 qui donne y=z=(-1+ou-racine(5))/2

Conclusion : (x;y;z)=[ [(-1-racine(5))/2;-1;(-1+racine(5))/2] ; Quelques soient a et b : (a;b;b) ]

Merci à tous pour votre participation et voici, en cas de besoin, la solution détaillée:

Il est clair que y et z sont différents de 0.
x/y = x - z et x/z = x - y donnent: x = xy - yz et x = xz - xy d’où: x(y-z) = 0
On ne peut avoir: x = 0 (on aurait alors: y = 0 et z = 0): on a donc: y = z = k, où k est un réel non nul.
Il s’ensuit que: x = xk - k², soit: x(k - 1) = k²
Si: k est égal à 1, alors les équations initiales n’ont pas de solutions.
Si: k est différent de 1, alors: x = k² / (k - 1)
L’ensemble des solutions du système est l’ensemble des triplets (k² / (k - 1); k; k) où k est un réel différent de 0 et de 1.
Il reste à déterminer les bornes de x.
Soit a un réel; x prend cette valeur si et seulement si: k² / (k - 1) = a, c’est-à-dire si et seulement l’équation: k² - ak + a = 0 admet des solutions réelles.
Le discriminant de l’équation vaut: a(a - 4): il en découle que: x >= 4 ou: x <= 0