Bonjour

Notons 2n le nombres d'invités ( il y a donc 2n+2 personnes à la soirée ) . Comme chacun ne peut pas avoir serré la main de plus de 2n personnes , le nombre de poignées de mains échangées par les invités et la femme du patron sont : 0,1,2,..., 2n ( le nombre de mains serrés par le patron est aussi dans cette liste ) . Une personne a échangé une poignée de main avec tout le monde sauf son conjoint qui est donc la seule personne a n'avoir serré aucune main . On remarquera que ces deux personnes ne peuvent pas être le patron ou son épouse . On reprend le même raisonnement avec 2n-1 et 1 , 2n-2 et 2 , ... La descente s'arrête quand 2n-k=k c'est à dire k=n que le patron et son épouse on serrés n=12 mains il y a donc 12 personnes dans le conseil .

Vasimolo

PS : j'ai corrigé ma réponse , j'avais inclus d'office le patron dans le conseil , allez savoir pourquoi

Sa femme a donc rencontré 12 personnes.
Toutes ces personnes ont au moins serré la main à sa femme, elle ont donc toutes au moins écrit 1.
Mais comme toutes ont des nombres différents, il faut forcément que toutes aient au moins d'inscrit 1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12 chacune.

Après tâtonnement, je trouve que ça fonctionne avec (ou à partir de) 14 personnes pour pouvoir écrire 12 sur un papier ! (mais j'aurai du mal à expliquer mathématiquement pourquoi, mais j'ai un résultat écrit).

Ça donne, si j'appelle les personnes par des nombres :

1 a serré la main de 14.
2 peut avoir serré la main de 14 et de 13.
3 peut avoir serré la main de 14, 13 et 12.
4 peut avoir serré la main de 14, 13, 12 et 11.
5 peut avoir serré la main de 14, 13, 12, 11 et 10.
6 peut avoir serré la main de 14, 13, 12, 11, 10 et 9.
7 peut avoir serré la main de 14, 13, 12, 11, 10, 9 et 8.
8 EST LE PATRON (ou 7 peut importe) QUI N'A RIEN ECRIT.
9 peut avoir serré la main de 14, 13, 12, 11, 10, 8, 7, et 6.
10 peut avoir serré la main de 14, 13, 12, 10, 9, 8, 7, 6 et 5.
11 peut avoir serré la main de 14, 13, 12, 10, 9, 8, 7, 6, 5 et 4.
12 peut avoir serré la main de 14, 13, 11, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4 et 3.
13 (est la femme du patron) peut avoir serré la main de 14, 12, 11, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3 et 2.
14 peut avoir serré la main de 13, 12, 11, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 et 1.

14 Convives donc 7 personnes au conseil d'administration ! (au minimum, car on peut de la même manière ajouter un nombre de personnes pair, ça fonctionne toujours)

J'attends avec impatience les explications mathématiques...

Aïe, c'est juste !

Bon, je vais essayer d'attaquer le problème plus mathématiquement alors, mais je suis nul pour ce genre d'exercice...

Supposons qu'il y ait P personnes au conseil d'administration, il y a alors 2P convives ce soir là.

Si le premier secoue le maximum de main, c'est à dire la main de tout le monde hormis la sienne et celle de son conjoint, il aura serré 2P-2 mains.

Celui d'après, le 2eme ne peut en avoir serré autant puisque les papiers ont des nombres différents, donc il pourra en avoir serré au maximum 2P-3.

On renouvelle le raisonnement jusqu'au dernier, le 2Pieme qui n'en aura serré que (2P-1)-2P=-1 (on peut supposer que cette quantité négative "revient" au patron puisqu'il n'est pas compté dans la répartition, et on peut donc remplacer ce nombre par "celui qu'on veut entre 0 et 2P-2").

On en déduit donc que quelqu'un n'a pas serré de main, et qu'on se trouve en présence de tous les nombres entiers de 0 à 2P-2, plus 1 nombre qu'on a 2 fois.

Or cela est impossible, car si une personne n'a pas serré de main, alors celle qui en a serré le plus n'a pas pu serré celles de tous les participants.

Ma (nouvelle ) réponse est donc que c'est impossible...

Supposant que la femme du patron sert la main à tous ses convives,  donc 12 poignées, cela fait 6 couples.

Comme le conseil d'administration ne comporte que des hommes, cela fait 6 hommes.

Et comme un homme possède 4 membres, cela fait 24 membres.

Pfff, et voila, encore une erreur.

Bon, effectivement, si 0 est la femme de 2P-2, ça marche !

Du coup, ça me fait penser que la réponse doit être que la somme des couples doit surement toujours faire 2P-2 : 2P-3 avec 1; 2P-4 avec 2, etc.

Je viens d'essayer, et ça fonctionne ! Par contre, il faut que je distingue le n° de la personne (de 1 à 2P) et le nombre de mains serrées (de 0 à 2P-2).

On peut effectivement supposer que (2P) serre 2P-2 mains (tout le monde), et son conjoint (1) en serre 0
(2P-1) serre 2P-3 mains : tout le monde sauf celle de (1),
et (2) en serre 1 : celle de (2P) seulement.
(2P-2) serre 2p-4 mains : tout le monde sauf celles de (1) et (2),
et (3) en serre 2 : celles de (2P) et (2P-1).

... et ainsi de suite jusqu'au dernier couple qui se rejoint "au milieu", c'est à dire après p personnes

(2P-(P-1))=P+1 qui serre p-1 mains : tout le monde sauf celles de (1) à (p+1),
et P en serre p-1 aussi : celles de (2P) à (p+2), c'est à dire exactement pareil que son conjoint !

Puisque tous les nombres sont différents, c'est que le patron et sa femme ont secoué le même nombre de mains, et donc que p-1=12, soit
p=13

Il y a donc 13 personnes au conseil de l'entreprise.

Et ben, merci beaucoup pour les coup de main, je n'y serait pas arrivé seul

En tous cas, bravo pour l'énigme à nouveau.

Le conseil d'administration de cette firme est composé de :

                             12 membres   

Après réponse de Titoufred : il y a au moins 7 hommes au CA.

On est d'accord pour dire que pour n membres du CA, il y a 2n invités + 2 hôtes (le couple du patron). Si la femme du patron a serré 12 mains, il faut au moins 12 invités (elle ne sert pas la main de son mari) donc 6 membres au CA.

S'il y a 6 membres :
Le femme du patron serre donc la main à tous les invités. Donc tous inscriront un chiffre non nul sur les papiers (le patron aurait pu ne serrer aucune main mais il est précisé qu'il ne participe pas au jeu). De plus, on ne serre pas la main de son époux/épouse, donc tous inscriront un chiffre inférieur à 13.
Or, il y a 13 personnes s'adonnant à ce jeu et seulement 12 nombres différents possibles ; il y aurait donc forcément deux nombres identiques, ce qui contredit l'énoncé.

Aurait-il pu y avoir plus de 6 membres au CA ? Oui, par exemple pour n=7 :
L'épouse du patron serre 12 mains, donc pas à tous les invités.
L'invité n°1 serre 14 mains (les 6 autres couples du CA + le couple du patron), et ne serre pas la main de son épouse.
Son épouse (disons invitée en n°2) peut ne serrer aucune main et inscrire 0 sur son papier.
L'invité n°3 serre 13 mains
Le n°4 serre 11 mains
...
Le n°14 serre 1 main.

En fait, le conjoint de la personne serrant le plus de mains possibles peut ne serrer aucune main, inscrire 0 sur son papier et permettre de n'avoir que des chiffres différents. Comme le patron ne participe pas, il ne peut être ce conjoint en question, et donc sa femme ne peut être celle ayant serré le plus de mains.
Pour n>6, tous les scénarios sont compatibles avec l'énoncé puisque la femme du patron n'est pas celle ayant serré le plus de main.

La réponse est donc n'importe quel entier naturel supérieur ou égal à 7.

Après un MP de Titoufred , je corrige mon post :

En fait, il y a 12 hommes au conseil d'administration.
En effet, si je dis que le 1er couple d'invités se compose d'une personne serrant toutes les mains et de son conjoint qui n'en serre aucune, alors le couple suivant se compose de celui serrant toutes les mains moins 1 et celle n'en serrant qu'une seule. Et ainsi de suite...
En continuant cette suite, le dernier couple serre le même nombre de mains (en l'occurence la moitié du nombre de mains à serrer). Seul le couple patronal peut se le permettre sans contredire l'énoncé car le patron ne joue pas.

Schématiquement, dans un tableau à 3 colonnes indiquant le nombre de mains serrées :
N° couple    mari    femme
1                24        0
2                23        1
3                22        2
4                21        3
5                20        4
6                19        5
7                18        6
8                17        7
9                16        8
10              15        9
11              14        10
12              13        11
Patron        12        12

Voilà, merci Titoufred pour ce petit problème qui décrasse les neurones.

Je sais que c'est la seule possibilité car, en reprenant ce qui est écrit au-dessus :
1) le couple qui serre le même nombre de mains est forcément le couple patronal ;
2) le couple qui serre le même nombre de mains est forcément celui qui serre la moitié des mains "disponibles" (cf mon tableau ci-dessus).
Donc la femme du patron a serré la moitié des mains "disponibles", si c'est 12, alors il y a 12 couples invités à la soirée, donc 12 membres au CA.
CQFD

Pour plus d'explications, voici pourquoi celui qui serre le plus de mains est marié avec celle qui n'en serre aucune : si ce n'est pas le cas, alors celui qui serre toutes les mains possibles va serrer la main avec celle qui n'en serre pas, ce qui est contradictoire.
Par récurrence de ce raisonnement par l'absurde, j'en déduis mon tableau ci-dessus et donc l'affirmation 2).

Comme demandé, voici ma réponse.

Sachant que l'épouse du patron a inscrit 12 sur son papier, nous avons donc affaire à plus de 12 personnes.       
       
Voilà ce que j'ai trouvé.       
       
Le premier homme sert la main aux autres invités.       
Le deuxième homme sert la main aux autres invités -1       
Le troisième homme sert la main aux autres invités -2       
Etc       
Jusqu'à la dernière femme qui ne serre la main à personne.       
       
Le tableau suivant récapitule tout ça.



La réponse est donc 12 membres au conseil d'administration vu que seuls les hommes comptent.

Puisqu'on me réclame des indices sur la marche à suivre en MP, j'en livre quelques uns ici (vous n'êtes pas obligé de tous les lire d'un coup) :

1ère étape : Appelons n le nombre de membres du CA. Il faut tout d'abord trouver quels sont les nombres écrits sur les papiers.

Indice 1a : Spoiler : [Afficher le message] Combien y a-t-il d'invités ? Combien y a-t-il de convives au total dans la soirée ? Combien y a-t-il de papiers ?
Indice 1b : Spoiler : [Afficher le message] Pour un convive donné, combien peut-il serrer de mains au maximum ?

2ème étape : Spoiler : [Afficher le message] Il faut ensuite essayer de "marier" les nombres écrits sur les papiers. C'est-à-dire trouver parmi les nombres écrits sur les papiers, lesquels correspondent à un couple mari/femme.

Bon, je vais plutôt partir de C le nombre de convives au total. Chaque personne peut serrer au maximum C-2 mains (ni la sienne ni celle du conjoint)
Il y a C-1 papiers différents.

Les invités ont donc échangé respectivement entre 0 et C-2 poignées de mains.

La maitresse de maison a échangé des poignées de mains, donc c'est un invité qui n'en a échangé aucune.

Mais dans ce cas, qui peut en avoir échangé C-2 ?

1) la maitresse de maison : non car elle aurait du serrer la main de celui ou celle qui n'en a pas serré.

2) son mari : non plus pour la même raison

3) le conjoint de la personne qui n'a pas serré de main.

Donc un couple serre toutes les autres mains possibles  "et" aucune.
Un autre invité doit serrer une seule main or il a déjà serré la main d'un des membres du couple précédent.... son conjoint doit donc serrer toutes les mains possibles sauf 1 (celle de 0 du premier couple)

on a donc par couple :
0 C-2
1 C-3
2 C-4
3 C-5
4 C-6
5 C-7
6 C-8
7 C-9
8 C-10
9 C-11
10 C-12
11 C-13
12 = C-14 pour la continuité.

Il y a donc 26 personnes dont 24 invités soit 12 membres au conseil .