Oui l'ordre est important. 12 et 21 sont deux codes différents.

Sans répétition à n chiffres  : n(n-1)+1

Avec répétition n(n-1)+1+n = n^2+1

A 10 chiffres: 101 à taper maxi.

@Franky : Il y a 10 chiffres possibles : de 0 à 9.

@godisdead et gwen : Il va falloir montrer que c'est possible avec si peu de chiffres.

@Mathias : Oui bravo.

010203040506070809112131415161718192232425262728293343536373839445464748495565758596676869778798890

si je ne me trompe... 99...

édit :
0102030405060708091121314151617181922324252627282933435363738394454647484955657585966768697787988990

101 chiffres. C'est la belle propriété des nombres universels.

On doit taper au minimum 101 chiffres pour être sûr d'ouvrir la porte.

Preuve
Il y a 10*10=100 codes possibles
Si l'on tape consécutivement 101 chiffres, comme un code est composé de 2 chiffres consécutifs, on a tapé 100 codes ; mais ces codes ne sont pas 2 à 2 distincts en général.
On peut voir aisément que l'on peut taper 101 chiffres consécutifs de façon à obtenir tous les codes.
Par exemple on part de (on passe d'un chiffre au suivant en ajoutant 1 mod 10)
01234567890
On considère les suites (on passe d'un chiffre au suivant en ajoutant 2 mod 10)
024680
135791
On insère ces 2 suites dans la première suite en économisant un 0 et un 1
etc
Sans oublier les suites 00, 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99.
cqfd

PS S'il n'y avait que les 3 chiffres 0, 1, 2, on aurait les suites
0120,  0210,  00,  11,  22
donc il suffirait de taper
0011220210

Je dirais par exemple 0123456789876543210, donc en tout 19 chiffres.
Mais tout décalage ou inversion fonctionne aussi (toujours 19 chiffres).

En fait il suffit de faire tous les roulements de 1 en 1, de 2 en 2 ....de 9 en 9 etd e les concaténer dans  0123456789 (sans oublier de doubler une fois chaque chiffre et de rajouter le 0 à la fin)

un exemple pour 4 éléments :
0123
020
131
03210

0(0)20123
131
03210

0(0)321020123
131

0321(1)31020123

00321131022012330


Pour 10 chiffres :

00113579159371617395197531227233834494556677889902468036925814704826050628407418529630864209876543210  (par exemple)

Je propose :

00112213314415516617718819910232425262728292034353637383930454647484940565758595067686960787970898090

Qui me donne 101 chiffres... ce qui doit logiquement être optimal pour écrire 100 nombres à deux chiffres possibles : Le premier à 2 chiffres puis on en rajoute un pour chaque nombre supplémentaire.

@masab : Bonne réponse. Tu pourrais donner la séquence pour 10 chiffres ?

@Franky : Il te manque des codes possibles : par exemple la suite "02" n'apparaît pas dans ta séquence.

@godisdead, gwen, nodgim, golgot : Oui, bravo.

@elpafio : On peut faire un peu mieux.

Je crois que cette séquence couvre toutes les possibilités :
00 10 20 30 40 50 60 70 80 90
11 21 31 41 51 61 71 81 91
22 32 42 52 62 72 82 92
33 43 53 63 73 83 93
44 54 64 74 84 94
55 65 75 85 95
66 76 86 96
77 87 97
88 98
99

Si je ne m'abuse, cela doit faire une séquence de 110 chiffres ?

Mais peut-être peut-on faire mieux, car les séquences 01, 12, 23, 34, 45, 56, 67, 78 et 89 sont en double ...

0010203040506070809; tous les "0"  19 chiffres
11213141516171819; tous les "1" soit 17 chiffres
223242526272829; tous les "2" soit 15 chiffres
... tous les "3" soit 13 chiffres, ...les  "7" 5 chiffres, et 889 soit 3 chiffres et enfin 9
sum(2n+1, n=0...9)=100 chiffres à saisir

edit, y'en manque un?
3343536373839
44546474849
556575859
6676869
77879
889
9

bien, comptons maintenant, 00, 01, ..., 21, ..., 44, ..., 70, ...,ah, 90 est manquant
donc 101 chiffres saisies en ajoutant 0