Je ne joue plus à ce genre de jeu, surtout avec 1 chance sur 52 seulement de gagner

ce sont les nombres de 1 à 52 ?

Je connais ce problème depuis un moment

Je dirais ( sans preuve ) qu'il faut laisser passer les 19 premières cartes et choisir dans celles qui restent la première carte affichant une valeur supérieure au maximum déjà observé .

Vasimolo

Pour vous motiver, sachez que Vasimolo vient de poster une stratégie qui permet d'améliorer assez nettement sa probabilité de gagner.

@Clydevil : feignasse !

Je pense avoir trouvé aussi.

Ne connaissant pas la valeur des cartes, on est incapable en regardant celles déjà retournées de savoir si elles ont des valeurs élevées ou faibles par rapport aux suivantes.

La question est donc, si il existe une stratégie gagnante, de savoir au bout de combien de cartes retournées on a intérêt à dire stop, peu important les cartes précédemment retournées comme expliqué ci-dessus.

L'intérêt d'attendre un peu est de retenir la valeur la plus élevée, et au bout d'un certain temps, se préparer à dire stop dès que la nouvelle carte aura une valeur supérieure.

Si j'attends que N cartes soient retournées pour me préparer à dire stop, je peux calculer mon pourcentage de chances d'avoir la carte "top" de la façon suivante :

Pour expliquer simplement, prenons l'exemple d'un paquet de 4 cartes seulement, et j'arrête le jeu après la carte n°2 si elle est meilleure que la 1ère, sinon je continue jusqu'à tomber sur une plus forte.
Par exemple :
1-2-3-4 : J'arrête à la n°2 puisqu'elle est plus forte que la 1, malheureusement, je perds.
3-2-4-1 : Je ne dis pas stop à la deuxième, moins forte que la 1ère, mais à la 3ème qui est bien la top carte : Je gagne.

Les combinaisons équiprobables sont les suivantes :
1-2-3-4 : Perdu       2-1-3-4 : Perdu       3-1-2-4 : Gagné !    4-1-2-3 : Perdu
1-2-4-3 : Perdu       2-1-4-3 : Gagné !    3-1-4-2 : Gagné !    4-1-3-2 : Perdu
1-3-2-4 : Perdu       2-3-1-4 : Perdu       3-2-1-4 : Gagné !    4-2-1-3 : Perdu
1-3-4-2 : Perdu       2-3-4-1 : Perdu       3-2-4-1 : Gagné !    4-2-3-1 : Perdu
1-4-2-3 : Gagné !    2-4-1-3 : Gagné !    3-4-1-2 : Gagné !    4-3-1-2 : Perdu
1-4-3-2 : Gagné !    2-4-3-1 : Gagné !    3-4-2-1 : Gagné !    4-3-2-1 : Perdu

On peut observer que j'ai là 11 chances sur 24 de gagner ! Beaucoup mieux qu'une sur 24 si je choisi d'office la 1ère carte.

Les cas favorables se calculent par :
*1/4 que la meilleure soit en place n°2,
*Plus 1/2 que la 2ème soit inférieure à la 1ère, multiplié par 1/4 que la bonne soit en place n°3
*Plus 1/3 que la 3ème soit inférieure aux 2 précédentes, multiplié par 1/4 que la meilleure soit en place 4

=>p=1/4+1/2*1/4+1/3*1/4=11/24



Considérons maintenant le cas général :

Il y a 1 chance sur 52 que la carte TOP soit à chaque place dans le paquet.

J'ai donc après N-1 cartes déjà retournées 1/52 de tomber sur la TOP en position N.

Si la carte n°N est inférieure à la plus haute déjà vue (N-1 chances sur N), je ne dirai pas stop, j'attendrai la suivante, ce qui me donne un peu plus de chances de gagner : j'aurai alors en plus 1 chance sur 52 qu'elle soit à cette place N+1, multiplié par (N-1)/N.

De même si la N+1 est inférieure à la plus haute d'avant (N+1-2= N-1 chances sur N+1), j'attend la suivante, et j'ai 1/52*(N-1)/(N+1)

Etc. jusque : La dernière carte qui a 1/52*(N-1)/51

On obtient : p(N) = 1/52 + 1/52*(N-1)/N + 1/52*(N-1)/(N+1) + 1/52*(N-1)/(N+2) + ... + 1/52*(N-1)/51

Je fais quelques tests, et je trouve :

p(1)=1.92%
p(2)=8.69%
...
p(19)=37.36%
p(20)=37.40%
p(21)=37.34%
...
p(26)=35.71%
...
p(52)=1.92%

La meilleure solution est donc d'attendre la 20ème carte pour décider d'arrêter ou non le jeu, en stoppant alors dès qu'on voit une carte plus haute que tout ce qu'on a vu précédemment !

On a alors 37,4% de chance de gagner...

Pour ce que j'ai compris pour l'instant:
On repère la plus forte carte jusqu'à la 42 ème, par exemple, et ensuite on choisira la plus forte carte supérieure qui se présentera.
On trouvera le plus grand nombre si:
1) il se trouve à la 43 ème carte
2) il se trouve à la 44ème carte et la 43ème n'est pas la seconde carte la plus forte.
3) il se trouve à la 45 ème carte et la seconde plus forte n'est ni la 43ème ni la 44ème. De plus les cartes 43 et 44 ne doivent pas être la 3ème plus grosse carte pendant que la seconde plus grosse carte sort après la plus forte.
.....

@golgot : En fait, le raisonnement que tu fais sur ton exemple à 4 cartes n'est pas bon, mais tu obtiens la bonne formule. Du coup, sur le cas à 52 cartes, je pensais que tu faisais la même erreur. A la relecture, je ne suis plus sûr, peut-être que tu raisonnes bien dans ce cas, mais que c'est juste pas très bien exprimé (tu inverses l'ordre des évènements à considérer je pense). Et puis surtout, je me suis rendu compte que tu avais la bonne formule et la bonne réponse. Donc, je crois finalement que c'est un grand bravo !

Oups, j'ai mis 3 heures avant de reposter pour vérifier tout ça, mais tu m'as devancé !

Effectivement, j'avais la bonne formule, mais je ne suis pas bien sûr en effet que je l'avais bien intégrée... J'avais posté un peu vite

C'est maintenant corrigé je pense !

0.374, c'est impressionnant par rapport au 0.019 de la 1ère carte.
Je pensais qu'une formule toute faite pouvait simplifier le calcul, mais là impossible, obligé de passer par l'ordi.
Bravo Golgot.

Bravo golgot59. Je suis d'autant plus impressionné que le résultat est contre-intuitif.

Une variante que je n'ai jamais comprise . On a seulement deux cartes . Comment reconnaitre la plus grande au moment où on la retourne avec plus d'une chance sur deux ?

Ce problème a vraiment une solution

Vasimolo

Vasimolo a écrit:

Une variante que je n'ai jamais comprise . On a seulement deux cartes . Comment reconnaitre la plus grande au moment où on la retourne avec plus d'une chance sur deux ?

Ce problème a vraiment une solution

Vasimolo

Sérieux?