Je trouve respectivement:
AC=10V2 et DF=30V2
AD=CF=V(20²+40²)=20V5
Haut=V[(20V5)²-(10V2)²]=30V2
Aire=30V2*20V2=1200
mais ce n'est pas validé.
J'ai dû commettre une erreur.
Affaire à suivre.

C'est un trapèze rectangle donc
A = (AC+DF)*CF/2

AC=10*rac 2
DF= 30* rac 2
CF= rac (40²+20²) = rac 2000 = 20 rac 5

A = 400 rac 10

si je ne me suis pas trompé dans les calculs

Belle réplique !

Alors, l'aire du trapèze ACFD est (AC + FD) * h / 2 où h est la hauteur du trapèze.

On sait que $AC = 10\sqrt 2$ et que $FD = 30\sqrt 2$.
Il ne reste plus qu'a déterminer h.

Soit M le milieu de AC et N le milieu de FD.
Comme AB=BC et que EF=ED alors CF = AD, donc le trapèze ACFD est isocèle.
Cela signifie que MN est une hauteur du trapèze ACFD, en particulier MN=h.

Si M' et N' sont respectivement les projetés de M et de N sur la face opposé du cube, alors MM'NN' est un rectangle dont la diagonale MN = h.

On sait que MM'=40, il ne reste plus qu'a déterminer MN'.
Si l'on projetre également les points D et F sur la face opposé du cube, et que l'on regarde de face la face qui contient les points ABC, on a la figure suivante :



On a BM = AC/2 et BN' = F'D'/2 = FD/2 et donc MN' = BN' - BM = (FD - AC)/2.
autrement dit $M'N =MN' = 10\sqrt 2$.

Donc, Pythagore dans MM'N donne :
$$MN^2 = MM'^2 + M'N^2 = 40^2 + (10\sqrt 2)^2 = 1600 + 200 = 1800 =30^2*2$$
et donc $h = MN = 30\sqrt 2$

Donc finalement, l'air du trapèze ACDF est :
$${(AC + FD) * h\over 2} = {40\sqrt 2 * 30\sqrt 2 \over 2} = 1200$$
(Je n'ai pas fait les dessins en 3D avec les projections, donc j'espère que mon explication n'est pas trop confuse).

C'est l'aire de deux triangles de l'espace que l'on peut calculer très facilement avec un produit vectoriel comme suit :

On considère le point comme l'origine de notre repère donc B(0,0,0) on se déplace de manière à avoir des coordonnées positives dans le repère. On a donc :

A(10,0,0)      D(30,0,40)
B(0,0,0)        E(0,0,40)
C(0,10,0)      F(0,30,40)

On a donc $A_{ADFC}=A_{ADC}+A_{AFC}$
$$=\frac{||\vec{AD} \wedge \vec{AC}||}{2}+\frac{||\vec{CF} \wedge \vec{CA}||}{2}$$
$$=300+300$$
$$=600$$
Qui n'est pas validé par la case réponse il doit donc y avoir une erreur quelque part mais je ne vois pas laquelle, si tu peux me donner un petit coup de pouce...

Je dirais 20 rac(2) x rac(1800) soit 1200 mais mes calculs me paraissent un peu trop élémentaires pour avoir bon

Le plus difficile est de calculer la hauteur du trapèze.
En projetant AC sur la face du fond, A'C' est à une distance facilement calculable de DF. La hauteur du trapèze est donc l'hypothénuse du triangle rectangle dont le grand coté est le coté du carré et le petit coté est la distance entre A'C' et DF.
J'ai trouvé H=30rac2
Aire: (30rac2+10rac2)/2 * 30rac2=1200.

J'ai bien aimé la réponse avec 2 chiffres après la virgule...

C'est la hauteur  multipliée par la moyenne des bases.

les bases : 30 rac(2)  et 10 rac(2)   (Pythagore) => 20 rac(2)

la hauteur : Je reporte ABC depuis E, le projeté est à angle droit. Donc Pythagore dit encore que la hauteur est (voire coupe )

H^2 =  40^2  + ( 30rac(2) -10rac(2) ) ^2

J'ai bien compris, mais je ne voit pas en quoi le choix des triangles est important, j'ai divisé le trapèze en deux et...

halloduda: BRAVO
shadock: et les triangles que tu as choisis couvrent bien la surface que tu veux calculer? Je n'en suis pas sûr Tes 2 triangles se chevauchent, ce qui ne doit pas être le cas si tu divises vraiment le trapèze par deux.