Par symétrie, on a: BC=CD, que l'on va appeler x.
Le triangle ABC est rectangle en B: on a donc:
(L-x)²=x²+l², ce qui donne x=L/2-l²/2L
Le périmètre vaut donc: P=V(L²+l²)+2l+L-l²/L
AN: L=70 et l=45 donnent P=214.288 env.
Merci pour ces petites énigmes sympathiques.

Bonsoir

Le périmètre du pentagone ABCDE est AB + BC + CD + DE + EA.

Nous avons $AB = DE = l$

Pythagore donne $EA = \sqrt{L^2+l^2}$.

Les triangles ABC et EDC sont isométriques (car ils ont leurs angles égaux et les côtés AB et ED de même longueur). Donc en particulier BC=CD.

Posons donc $x=BC=CD$.2*45 + 70 - {45^2\over70} +\sqrt{45^2 + 70^2}

Le périmètre de ABCDE est donc :
$$l + x + x + l +  \sqrt{L^2+l^2} = 2(l+x) +\sqrt{L^2+l^2}$$
Pythagore dans ECD, par exemple donne :
$$x^2+l^2 = (L-x)^2$$
$$\Leftrightarrow x^2 + l^2 = L^2 -2Lx + x^2$$
$$\Leftrightarrow l^2 = L^2 -2Lx$$
$$\Leftrightarrow x = {L^2 - l^2\over 2L}$$
Ce qui fait que le périmètre de ABCDE est :
$$2(l+{L^2 - l^2\over 2L}) +\sqrt{L^2+l^2} = 2l + L -{l^2\over L}+\sqrt{L^2+l^2}$$
Donc pour L=70 et l = 45 , le périmètre de ABCDE est :
$$2*45 + 70 - {45^2\over70} +\sqrt{45^2 + 70^2} = 160 - {45 * 9\over 14} + \sqrt{2025 +4900}$$ $$= 160 - {405\over 14} + 5\sqrt{277} \simeq 214,288$$
Voilà .

La réponse est $214.288$
Plus précisément le périmètre est donné par la fonction
$$P(L,l)=2l+\frac{L^2-l^2}{L}+\sqrt{L^2+l^2}$$
Or $P(70,45) = 214.288013456894...$
Voilà !

Preuve
On pose  $\tan a=\frac{l}{L},\ \tan b=\frac{L}{l}\ \ $   donc $a+b=\frac{\pi}{2}$ .
Alors
$$BC=l\,\tan(b-a)=l\,\frac{\tan b -\tan a}{1+\tan a\tan b}$$ $$BC = l\,\frac{\frac{L}{l}-\frac{l}{L}}{1+\frac{l}{L}\frac{L}{l}} = \frac{L^2-l^2}{2L}$$
De plus par Pythagore $AE=\sqrt{L^2+l^2}$
Donc
$$P(L,l)=2\,AB+2\,BC+AE$$
$$P(L,l)=2\,l+\frac{L^2-l^2}{L}+\sqrt{L^2+l^2}$$
$$\square$$

BRAVO à tous!

BRAVO à tous et MERCI pour votre participation