Allez une petite récurrence.
$$U_{n} = \prod_{i=1}^{n}(a_{i}+1)-1$$
Pour n=2 OK
$$((a_{1}+1)*(a_{2}+1))-1=a_{1}*a_{2}+a_{1}+a_{2}$$
Pour passer de n à n+1
$$(a_{n+1}*U_{n}+a_{n+1}+U_{n})=((a_{n+1}+1)*U_{n})-1$$
Et hop!
Pour 15 successifs
$(16! - 1)$ est le le plus grand et le plus petit.

Deux petites curiosités en prime.

Si tous les chiffres sont des 9, c'est invariant.

Si tous les chiffres sont des 1 des 3 ou des 7, on tombe sur des nombres de Mersenne.

Un petit truc marrant à propos de cet exercice

L'opération $aTb=a+b+ab$ est commutative et associative ce qui explique que le résultat final ne dépend pas de l'ordre des opérations et justifie la récurrence $U_{n+1}= (n+1)+U_n+(n+1)U_n$ .

Vasimolo