De 1 à 10 milliards ? Ah quand même...

Le 0 apparait aux unités une fois sur 10, aux dizaines 10 fois sur 100 (sauf pour les 100 premiers nombres, mais en ajoutant le dix-milliardième), aux centaines 100 fois sur 1000 (sauf pour les 1000 premiers nombres, mais en ajoutant le dix-milliardième), etc.

Donc :

1.000.000.000 fois aux unités
1.000.000.000-9 fois aux dizaines
1.000.000.000-99 fois aux centaines
1.000.000.000-999 fois aux milliers
1.000.000.000-9.999 fois aux dizaines de milliers
1.000.000.000-99.999 fois aux centaines de milliers
1.000.000.000-999.999 fois aux millions
1.000.000.000-9.999.999 fois aux dizaines de millions
1.000.000.000-99.999.999 fois aux centaines de millions
1.000.000.000-999.999.999 fois aux milliards (ouais, une fois, ouais)

Total : 8.888.888.899 fois

BRAVO Mathias et Titoufred

Oui nodgim, bravo

Salutations

10 milliard est un 1 avec 10 zéro derrière, c'est donc un nombre à 11 chiffres.

Le nombres de 1 à 9 ne contiennent pas de zéro.

Le nombre de nombres à k chiffres qui contient i zéros (avec k>2 et k>i)
est ${k-1\choose i} 9^{k-i}$ car pour i zéros fixé, il reste 9 choix pour chacun des k-i chiffres qui restent, ce qui explique le $9^{k-i}$ ; ensuite il faut multiplié par le nombre de façon de choisir les i chiffres égal à zéro parmi k-1 chiffres (car le premier chiffre doit être non nul).

Donc le nombre de zéros qu'il faut pour écrire ces chiffres est $i*{k-1\choose i} 9^{k-i}$,  ainsi le nombre de zéro qu'il faut pour écrire les nombres à k chiffres est :

$$\sum_{i=1}^{k-1}{k-1\choose i} i9^{k-i}=\sum_{i=1}^{k-1}{k-2\choose i-1} (k-1)*9^{k-i}=$$ $$(k-1)\sum_{i=1}^{k-1}{k-2\choose i-1} 9^{k-i}=(k-1)\sum_{i=0}^{k-2}{k-2\choose i}9*9^{(k-2)-i}=$$ $$=9(k-1)*(1+9)^{k-2} = 9(k-1)*10^{k-2}$$
le nombre de zéro pour écrire tous les nombres de 1 à 10 milliards est donc :
$$10 +\sum_{k=1}^{10}9(k-1)*10^{k-2}$$
ce qui fait 10 + 9 * 987654321 = 8888888899

En fait de manière plus général, le nombre de zéro qu'il faut pour écrire les nombres de 1 à $10^n$ est
$$n +{9\over 10}\sum_{k=0}^{n-1}k*10^{k}$$
Je n'ai pas trouvé de terme général pour cette somme

J'écris (en pensée :-)) les nombres de 1 à 9.999.999.999 en colonne alignés à droite (comme pour une addition).

Je regarde ensuite ce qu'il se passe dans la colonne des unités (10^0):
J'y vois des séquences: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 sauf la première qui n'a pas de 0.
Il y a 10^10/10 séquences et chacune apporte un 0 au total sauf la première. Il y a donc dans cette colonne 10^9-1 zéros.

Dans la colonne des dizaines (10^1), j'y vois des séquences de 10 0 puis 10 1, 10 2, ..., 10 9 sauf la première qui n'a pas les 0.
Il y a 10^10/100 séquences et chacune apporte 10 0 sauf la première.
Il y a donc 10^8*10-10 zéros dans celle colonne.

Dans la colonne des centaines de millions, les séquences sont de 10^8 0, ... 10^8 9 sauf la première qui n'a pas de 0. Il y a 10^10/10^9=10 séquences et chacune apporte 10^8 0 sauf la première. Il y a donc: 10*10^8-10^8 zéros dans cette colonne.

Il n'y a pas de 0 dans la colonne des milliards.

Il y a donc au total:

$$(10^9-1)*10^0+(10^8-1)*10^1+...+(10^1-1)*10^8[/latex] zéros. Soit [latex]9.10^9-(1+10+100+...+10^8)=9.10^9-\dfrac{10^9-1}{9}$$
$=\dfrac{80.10^9+1}{9}$.

Cela fait  8 888 888 889 zéros auxquels il faut rajouter les 10 du nombre 10 milliards soit 8.888.888.899 ce qui est approuvé par la case réponse.

Pour généraliser à 10^n, le même raisonnement emmène à:
$\dfrac{(9n-10).10^{n-1}+1}{9}+n$.

Pour n=2, cela donne bien 11 zéros
Pour n=3, cela donne 192 zéros.

A partir de n=12, il y a plus de zéros que de nombres eux-mêmes.

Merci pour cette énigme.