On a: (A+1)(B+1)(C+1) = ABC+AB+BC+AC+A+B+C+1
d'où: (A+1)(B+1)(C+1) = 1001 = 7 x 11 x 13
Soit A ou B ou C = 0 et ABC/(A+B+C) = 0 = 0/1
Soit A ou B ou C = 6 ou 10 ou 12, donc ABC/(A+B+C) = 720/28 = 180/7
180/7 est validé par la case réponse, mais 0/1 ne devrait pas être faux

BRAVO Franky1103 et klimrod

Franky1103, tu as raison pour l'autre possibilité. Je vais ajouter une petite contrainte supplémentaire dans l’énoncé pour avoir l'unicité du résultat. Merci

(a+1)(b+1)(c+1)=abc+ab+ac+bc+a+b+c+1=1001=7*11*13

donc {a,b,c}={6,10,12} et [latex]\frac{abc}{a+b+c}=\frac{180}{7}[/latex]

[mode un peu de réflexion ouvert]

(avec tableur)

a<=b<=c

donc a<=10

a= 1 b<=31   on déduit c (non entier)
a=2 1<b<=22 ...
a=3  2<b<= 18
a=4 3<b<=15
a=5 4<b<=14
a=6 5<b<= 12
a=7 6<b<=11
a=8 7<b<=11
a=9 8<b<=10
a=10 ça ne marche pas

108 solutions potentielles, il semble qu'elle soit unique...

C'est vrai ! Même dans mon choix de a et b d'ailleurs...

Avec trois nombres impairs, par exemple, la somme ne risque pas de faire 1000 vu que l'on sommera 7 nombres impairs.

Avec deux impairs, idem.

Avec 1 nombre impair : idem...

Ils doivent donc tous être pairs, c'est sûr que ça limite la recherche, même si elle reste empirique. (Je ne tiens pas à résoudre les équations.)

Plus que 29 cas à tester.

A part 0 0 1000 qui est une évidence avec pour réponse 0/1 , mais il me semble que c'est l'objet de l'édition que tu as faite ... il me reste juste à tester avec a= 0  et b et c strictement positifs.

ce problème ne pose pas de challenge car il est solvable instantanément par un logiciel de calcul formel du style Maple ou Mathematica.
en plus de la réponse tu devrais demander comment arriver au résultat !

Dans la suite, chaque ligne est équivalente à celle du dessus.

ABC + AB + AC + BC + A + B + C = 1000
A(BC + B + C + 1) + BC + B + C = 1000
A(B(C+1) + (C+1)) + B(C+1) + C = 1000
A(B+1)(C+1) + B(C+1) + C = 1000
A(B+1)(C+1) + B(C+1) + C + 1 = 1001
A(B+1)(C+1) + (B+1)(C+1) = 1001
(A+1)(B+1)(C+1) = 7 * 11 * 13.

La décomposition en facteur premier étant unique, nous avons :
ABC = 6 * 10 * 12  et A + B + C = 6 + 10 + 12 = 28 = 7 * 4.

et donc ABC/(A+B+C) = 6 * 10 * 3 * 4 / 7 * 4 = 180/7

Ce problème est tout simplement magnifique, merci

Ça ressemble à un exercice de sur les racines d'un polynôme sauf que là bas on n'a pas le polynôme

Alors on a :
[TeX]\sigma_1=a+b+c[/TeX]
[TeX]\sigma_2=ab+bc+ca[/TeX]
[TeX]\sigma_3=abc[/TeX]
Notre polynôme est donc de la forme [latex]P(x)=(x-a)(x-b)(x-c)[/latex]

Et ce qu'on cherche c'est [latex]\frac{\sigma_3}{\sigma_1}[/latex]

Et après...

ABC+AB+BC+AC+A+B+C=(A+1)(B+1)(C+1)-1=1000
1001=7x11x13
A=6 B=10 C=12
ABC/(A+B+C)=720/28=180/7

Avec un programme informatique faisant varier
A de 1 à 1000
B de A à 1000
C de B à 1000
on trouve que la seule solution est
A=6, B=10, C=12 d'où ABC/(A+B+C)=180/7
En attendant une justification "à la main" du résultat...

JUSTIFICATION "à la main".
En développant (A+1)*(B+1)*(C+1), on trouve que
ABC+AB+AC+BC+A+B+C=1000
est équivalent à
(A+1)*(B+1)*(C+1) = 1001

Chaque facteur du 1er membre est >=2.
Or la décomposition en facteurs premiers de 1001 est 1001=7*11*13
D'où (en supposant A<=B<=C) on en déduit
A=6, B=10, C=12
et ABC/(A+B+C) = 720/28 = 180/7

PS Si l'on ne suppose pas A<=B<=C, on trouve 6 solutions [A,B,C] qui donnent toutes la même valeur pour ABC/(A+B+C) car les diverses solutions [A,B,C] se déduisent les unes des autres par permutation.

On remarque que
(A+1)(B+1)(C+1)=ABC+AB+AC+BC+A+B+C+1
donc (A+1)(B+1)(C+1)=1001=7*11*13
A, B et C étant non nuls, ils sont égals à (6,10,12)
Le rapport ABC/(A+B+C)=180/7