Bonjour,

Question 1 :
Nombre de nombres ascendants à 1 chiffre  : C(9,1)
Nombre de nombres ascendants à 2 chiffres : C(9,2)
...........................................................................
Nombre de nombres ascendants à 9 chiffres : C(9,9)
Ce qui fait un total de $2^9-1=511$ ($2^9=512$ si on admet le 0)

Édité :
Question 2
Un nombre de $p$ chiffres ($k_1,k_2,...,k_p$) est divisible par 11 si :
p pair : $(k_p-k_{p-1})+...+(k_2-k_1)$ est nul ou multiple de 11
Cette somme est strictement positive (chiffres croissants) et inférieure ou égale à $k_p-k_1$, donc inférieure ou égale à $9-1=8$.
p impair : $(k_p-k_{p-1})+...+(k_3-k_2)+k_1$ est nul ou multiple de 11
Cette somme est strictement positive et inférieure ou égale à $k_p-k_2+k_1$.
$k_2>=k_1+1$, donc la somme est inférieure ou égale à $k_p-1$, donc inférieure ou égale à $9-1=8$.

Le seul nombre ascendant divisible par 11 est $0$.

Pour le cas des nombres divisibles par 11

Soit un nombre A écrit en base 10 A1A2..An

Considérons que 11*A est ascendant.

Alors A(n-1)+A(n) >9, car sinon les 2 derniers chiffres des 11A sont « en baisse » (au sens large l’un des 2 pouvant être nul

L’avant dernier chiffre s’écrit donc A(n-1)+A(n) – 10

Le chiffre précédent s’écrit A(n-2)+A(n-1) +1 ou A(n-2)+A(n-1) -9

Mais dans le premier cas A(n-2) +1 >= A(n)-10 donc on est dans le deuxième cas.

Et ainsi de suite mais alors A1>=A(1) +A(2)-10 et les 2 premiers chiffres sont donc croissants

Il n’existe donc pas de tels nombres ascendant divisibles par 11

En raisonnant exactement de la même manière, on montre que si les chiffres à la droite du nombre sont décroissants alors les deux premiers chiffres seront croissants.

Il n’existe donc pas non plus de nombre descendants divisibles par 11.

Bonjour

Le premier problème revient à choisir de 1 à 9 chiffres parmi [[1;9]] il y a donc $C_9^1+C_9^2+...+C_9^9=2^9-1$ solutions . Pour le second , le critère de divisibilité par 11 nous dit que la somme des chiffres de rang pair doit être égale à celle des chiffres de rang impair modulo 11 : c'est bien sûr impossible ( l'écart maximal étant de 8 ) .

Vasimolo

Pour le dénombrement des nombres ascendants, ça revient à des tirages sans remise, donc avec des "k parmi n".
Nb d'ascendants = 652
Pas de nb ascendant divisible par 11, car la différence entre les chiffres de rang pair & impair < ou égal à 9.

Gwen27, ta résolution est originale. Mais il manque le dénombrement des ascendants, et que fais-tu du 0?

Nogdim, Portugal, scrablor, Vasimolo, ok. Mais où est passé le 0?
Enigmator, ok. Bravo. smile
C'est à cette résolution que je pensais, en particulier à celle de scrablor, et d'une interprétation géométrique d'une somme d'écart, sur un segment de droite.

Francky1103, tu commets une erreur de raisonnement, les ascendants sont dénombrables.

Jjango, ok pour le critère de divisibilité, mais que fais-tu du 0? En revanche, ton dénombrement n'est pas correct. Ta combinaison ne répond à la problématique. On cherche une somme de combinaison (ou autre moyen efficace de dénombrement).

Gwen27, ton dénombrement n'est pas complet. Ta méthode ne dénombre pas l'ensemble des combinaisons, en particuliers parce que tu sautes trop vite de ton exemple de dénombrement des ascendants à deux chiffres, à la récurrence qui dénombre l'ensemble des ascendants par " familles " de nombres.

Mais plus généralement, on peut éviter ce dénombrement fastidieux. Rien ne t'oblige à t'astreindre à une telle tâche.
J'ai sous les yeux une méthode d'une simplicité confondante, et cela sans utiliser la moindre combinaison.

Exactement Enigmatus. Bravo à toi.

6Une autre méthode bien  plus elegante trouvée par hasard en cherchant un nouveau  problème pour p2t. J'ai d'abord trouvé un résultat sûrement connu :

Un nombre est divisible par 11<=> la somme de ses rangs pairs  et impairs sont égaux modulo 11

Je vous laisse le plaisir de montrer ce résultat plutôt que de l'écrire. C'est tout simple.

Je suis donc revenu à nos moutons...

A part 0.......Un nombre ascendant est une extraction de 123456789

Au passage le nombre de combinaisons d ascendent est la somme du nombre de choix de k dans 9 pour k = 1 à 9. (C n k)
Le calcul est à partir de la formule de probabilité classique.


La différence entre les sommes des rangs pairs et impairs est donc comprises entre 1 et 9 car :

-strictement positive par construction en prenant les chiffres 2 à 2 à partir des unités qui forment une somme de nombre positifs

-inférieure au nombres des unités et donc à 9 en prenant les chiffres  2 à 2 a partir des dizaines qui diminuent le chiffre des unités

Ca résoud notre problème ainsi que celui des descendants en faisant la même chose en regardant le nombres dans l'autre sens.

Ah ce 0 qui est divisible par tous les autres sauf lui même....

On sait que la formule  $C_n^k$ signifie qu'on va utiliser n chiffres sans utiliser le même chiffre deux fois dans k emplacements pour avoir le nombre de tous les combinaisons possibles.
Mais cette formule ne s'intéresse pas à l'ordre des chiffres.
Par exemple  n=3 k=3 (les trois chiffres sont 3,4 et 7)
$$C_3^3=1$$
Normalement il y a une seule combinaison car il y a 3 nombres et 3 emplacements mais la combinaison peut être (743,734,473,437,374, et 347) le seul nombre ascendant est 347.
Donc on peut dire que la formule $C_n^k$ peut nous donner le nombre des nombres ascendants même si la formule ne s'intéresse pas à l'ordre des chiffres.
On pose N le nombre des nombres ascendants.
$$N=C_{10}^1+\sum_{k=2}^9 C_9^k =512$$
Lorsque le nombre est un seul chiffre le 0 est inclus dans les 10 chiffres, mais lorsqu'on dépasse un seul chiffre on ne peut plus utiliser le 0 donc on va seulement utiliser 9 chiffres.
Posons X un nombre ascendant qui a p chiffres tel que p≤9
X peut s'écrire de cette façon:
$$X=\sum_{k=1}^p x_{k}10^{k-1}$$
Tel que $x_{k}<x_{k-1}$
Un nombre est divisible par 11 lorsque la différence entre la somme des chiffres de rang pair et la somme des chiffres de rang impair est un multiple de 11
On pose:
P la somme des termes pairs
I la somme des termes impair
Si p est pair
x₂<x₁
x₄<x₃
$$x_{p}<x_{p-1}$$
Alors P<I donc 0<I-P
Posons I'=I et P' tel que
x₂=x₃
x₄=x₅
$$x_{p-2}=x_{p-1}$$
On remarque P'<P
Alors 0<I-P<I'-P'
avec $I'-P'=x_{1}-x_{p}$
Alors $0<I-P<x_{1}-x_{p}<9<11$
Donc 0<I-P<11 ce qui implique que N n'est pas divisible par 11
Si p impair
x₂<x₁
x₄<x₃
$$x_{p-1}<x_{p-2}$$
Alors P<I donc 0<I-P
Posons P"=P et I" tel que
x₂=x₃
x₄=x₅
$$x_{p-1}=x_{p}$$
On remarque que I<I"
Alors 0<I-P<I"-P"
avec I"-P"=x₁
alors 0<I-P<x₁<11
Donc 0<I-P<11 ce qui implique que N 'est pas divisible par 11
Conclusion aucun des nombres ascendants n'est divisible par 11 sauf le 0 qu'on peut considérer comme multiple de 11
Bonne journée.

Ca m'a paru difficile à aborder jusqu'à ce que je repense à "grenouille et escalier".

Sympathique problème.

Merci à tous d'avoir participé, et je l'espère pris du plaisir en tentant de résoudre ce problème.

Ce qui à mon sens, rend ce problème plutôt élégant, c'est son degré de difficulté variable selon l'angle avec lequel on s'y attaque, comme le précise Gwen27 (merci pour ta sympathique remarque ).

Il me semble que les solutions proposées ici sont suffisamment concises et éloquentes pour ne pas avoir à la formuler encore une fois.


Je reprendrai simplement les méthodes qui me semblent les plus rapides, simples, et efficaces, pour résoudre ce petit problème.


Celle d'Enigmatus concernant le dénombrement :

Je crois avoir une idée : pour chacun des chiffres 1 à 9 placés par ordre croissant, on peut le choisir, ou non. Cela fait 2^9=512 possibilités.

Et celle de scrablor pour la divisibilité par 11 :

J'applique le critère de divisibilité par 11 sur abcdef par exemple :
(f-e)+(d-c)+(b-a) est compris entre 3 et 6 donc pas divisible par 11.
De manière générale, cette somme d'écarts - strictement positive - est majorée par 9. On peut toujours y voir une somme d'écarts, quitte à mettre un 0 au début d'un nombre ayant un nombre impair de chiffres.
Un seul ascendant est divisible par 11 : 0.

Mention spéciale au cryptarithme de Gwen27, qui à défaut d'être intuitif, est original et surprenant.


Il y avait 512 nombres ascendants à dénombrer, et un seul divisible par 11, le 0 (souvent oublié).


Merci à vous tous.