Bonjour,

Le polynôme (0,0,8) n'est pas bien ?

Soit [latex]P(x)=\sum_{k=0}^na_ix^i[/latex] alors :

Posons [latex]K = \int_0^1 P(x) dx[/latex]

Alors si [latex]K\neq 0[/latex] on peut poser [latex]Q(x) = {2\over K^2}(P(x))^2[/latex]

et on a [latex]\int_0^1 \sqrt{Q(x)} dx = \sqrt{2}[/latex]

et des polynômes tels que [latex]K\neq 0[/latex] il y en a plein .

J'essaie de répondre à la question qui n'est pas posée, et ce aux erreurs près dûes au ramollissement de mes neurônes (sup-spé en 1980-82):

Prim [V(x²+1)] = Prim [x²/V(x²+1) + 1/V(x²+1)]
= x.V(x²+1) - Prim [V(x²+1)] + Prim [1/V(x²+1)]
[en intégrant par parties: u = x et v = V(x²+1)]
d'où: Prim [V(x²+1)] = x.V(x²+1) - Prim [V(x²+1)] + argsh(x)
et enfin: Prim [V(x²+1)] = [x.V(x²+1) + argsh(x)] / 2
(mais à vérifier)

Indice i dans le terme général de la somme, somme indexée en k

Sinon, je suis persuadé que oui, mais je ne vois pas comment construire un tel polynôme. J'y réfléchis...

Pour moi, pour tout n, il y a au moins une solution.

La question qui me taraude, c'est : est-il possible de répondre à ta question avec un polynôme à coefficients tous entiers ?

Pour des coefficients non nuls, tu calcules l'intégrale d'un polynôme quelconque à coefficients non nuls, et tu obtiens un réel X (si tu tombes sur 0, chope un autre polynôme au hasard). Tu multiplies ton polynôme de départ (donc tous ses coefficients) par [latex]\sqrt{2}/X[/latex], et hop !

Je pense que les nombres négatifs ne peuvent pas être atteins. Sinon pour les nombres positifs, avec les mêmes notations, si on prend :
[TeX]Q(x)={r^2\over K^2}(P(x))^2[/TeX]
alors [latex]\int_0^1 \sqrt{Q(x)}dx = |r|[/latex]

Après si les coefficients doivent être entiers, on peut toujours trouver un polynôme [latex]P[/latex] à coefficients dans [latex]\mathbb{Z}[/latex] tels que [latex]K=1[/latex] (par exemple P=(-1,4)) et donc si [latex]r^2[/latex] est entier alors [latex]Q[/latex] est un polynôme à coefficients entiers.

Après avec des polynômes qui n'ont pas cette forme là, on doit sûrement pouvoir atteindre d'autre réels, mais là ... ce n'est plus de mon ressort

@shadock: J'espère que ma primitive te servira à quelquechose (si elle est juste)

shadock a écrit:

masab a écrit:

L'ensemble des polynômes à coefficients entiers étant dénombrable

Je ne vois pas pourquoi, puisque l'ensemble des polynômes est infini...

Dénombrable, cela signifie qu'il existe une bijection avec [latex]\mathbb{N}[/latex]

L'ensemble des rationnels est dénombrable.
Tu peux coder un polynôme à coefficients entiers comme une suite fini d'entiers.
Tu peux interpréter cette suite fini d'entier comme le développement décimale d'un rationnel. Et donc à chaque polynôme tu peux lui associer un rationnel.
Il existe donc une bijection entre l'ensemble des polynômes et un sous ensemble des rationnels. Et comme les rationnels sont dénombrables alors l'ensemble des polynômes à coefficients entiers est dénombrable.

Je n'ai pas vraiment réfléchi au codage, mais on pourrait imaginé celui là :
[TeX]1 + 2x - 7x^2[/TeX]
nombre maximum de chiffres des coefficients ---> 1
donc chiffre avant la virgule ----> 1+1 (1 de plus pour coder le signe du coefficient)
codage du polynôme :
2,010217.

décodage : chiffre avant la virgule 2 donc je découpe en paquets de 2 :

01 02 17 ---> le premier chiffre code le signe donc le polynôme est :
[TeX]1 + 2 x - 7 x^2[/TeX]
et 1 + 27 x serait codé : 3,001027

Je ne sais pas si c'est bien expliqué, mais je pense qu'avec un codage dans ce genre là ça devrait aller .

Moins joli, mais okay

Pas tout à fait.

En fait les nombres que j'obtiens c'est uniquement pour faire un lien entre les polynômes à coefficients entiers et les nombres rationnels pour montrer que c'est un ensemble dénombrable. Mais cela n'a pas de rapport avec le résultat de l'intégrale.

Comme tu l'as indiqué, avec le polynôme 1+x² on voit apparaître une fonction trigonométrique, donc il n'est pas évident que l'on ne puisse pas atteindre pi.
Enfin, je ne vois pas d'argument simple .

(Mais vous savez moi, sans mes lunettes... )
Euh,... pardon.