La solution est très courte et peu difficile à trouver . Il faut tout de même faire attention car le problème est traduit de l'anglais , on doit donc comprendre "positif" comme "strictement positif" . D'un autre côté ce n'est pas trop grave car la solution est la même dans les deux cas .

Vasimolo

Bonjour
Pour ceux qui voudraient vérifier je donne simplement la solution.
En polonais pour pas troll.
Odpowiedź to trzydzieści osiem dla Bena i pięćdziesiąt siedem dla Charlesa

Salut Princeleroi

La réponse est a=95 ; b=38 ; c=57

On sait qu’aucun des 3 protagonistes n’a eu d’information déterminante au premier tour.

Au tour de A, il envisage b+c ou |b-c|. A ne peut conclure donc b+c <> |b-c| (sinon un seul choix pour a). Donc b<>0 et c<>0.
A et B savent qu’ils n’ont pas 0.

Au tour de B, il envisage a+c ou |a-c|. B ne peut conclure donc a<>0 (sinon un seul choix pour b), mais surtout a<>c (sinon a-c=0, et C qui sait ne pas avoir 0 en aurait déduit b=a+c).
A sait que a<>0 ; A et C savent que c<>a.

Au tour de C, il envisage a+b ou |a-b|. C ne peut conclure donc a<>b (sinon C, qui ne peut avoir 0, en aurait déduit que c=a+b), mais surtout b-a <> a (sinon c=a, ce qui a été exclu). Donc a <> b/2.
A sait que a<>b et que a<>b/2.

Quand revient le tour de A, il sait donc que a<>0, a<>b, a<>c, a<>b/2.
A envisage b+c, b-c ou c-b. Et on sait que A découvre son nombre, donc les informations qu’il a obtenues sont décisives, et lui permettent d’éliminer des hypothèses obligatoirement fausses.
Si une hypothèse éliminée par A était a=0, cela signifierait que b-c=0, donc b=c, donc a=2b, donc a pair. Mais a=95 => impossible.
Si une hypothèse éliminée par A était a=b ou a=c, cela signifierait éliminer c-b=b ou b-c=c, donc c=2b ou b=2c, donc a=3b ou 3c, ce qui est impossible car 95 n’est pas un multiple de 3.
Reste donc a=b/2. Le seul cas intéressant qui pourrait y conduire serait c-b=b/2 (b+c=b/2 implique c<0 et b-c=b/2 implique c=b/2 donc a=c ce qui a été exclu)
Si c-b=b/2 alors c= 3b/2.

Dans ce cas, A envisage a=b+c= 5b/2 ou a=c-b=b/2, et puisque le second cas a été éliminé, nécessairement a=5b/2. Donc b=38 puis c=57.
C’est la seule configuration permettant à A de trouver son nombre au second tour…

Je remarque que tu n'as pas relevé le problème que j'ai noté .

Le principal avantage et défaut de ce site : celui qui propose l'énigme est à la fois le prince et le roi .

Tant qu'on n'abuse pas des privilèges , tout va bien

De toutes façons , il y aura une réponse officielle dans quelques heures .

Vasimolo

J'avais raisonné comme TOUFAU , ce qui veut dire que nous avions compris "positifs" de la même façon . Il aurait été sympa d'ouvrir le problème en remplaçant ce terme par "strictement positifs" , qui était manifestement attendu par le site "Diophante" .

Je dis ça , je ne dis rien

Vasimolo

Le problème est le même si on accepte le "0" ?

En tout cas , l'enchainement des déductions n'est pas le même .

Quelques questions en l'air :

Quels sont les entiers que l'on peut mettre à la place du 95 ?

Les deux problèmes ( positifs ou strictement positifs ) ont-ils toujours une solution unique en même temps ?

Si en acceptant le "0" tout fonctionne pareil , pourquoi ne pas accepter "-1" ?

Vasimolo

Intéressant : le lien entre ce problème et la suite de Fibonacci

J'ai regardé quelles étaient les réponses possibles suivant le nombre de fois où la réponse est "je ne sais pas" - ex pour notre pb ici : 3 fois.

Nombre de "Ne sais pas" --> réponse du premier à savoir (et des deux autres)
0 --> A=N, B=0, C=N (ou B=N et C=0)
1 --> B=2N, A=N, C=N
2 --> C=3N, B=2N et A=N
3 --> A=5N, C=3N, B=2N
4 --> B=8N, A=5N, C=3N
5 --> C=13N, B=8N, A=5N
etc...

c'est bon vous l'avez ?
La démo est pas longue, par récurrence ça marche bien. J'ai la liste de mes inégalités (autant que de tours avec "ne sais pas"), et il faut une récurrence forte : j'ai 3 branches à chaque fois, mais une apporte un résultat négatif et une autre invalide l'hypothèse du tour n-2, reste une seule.


Corollaire : ce genre de problème admet une solution si et seulement si on peut en sortir un triplet de Fibonacci (à une constante multiplicative près)

Exact. En fait, je suis parti sur le raisonnement "la dernière affirmation me permet de trancher". Alors qu'en fait, l'avant dernière aussi peut me le permettre, simplement je n'ai pas eu l'occasion de m'exprimer depuis.

Allez : je viens à la fois de montrer que toute configuration peut être trouvée au bout d'un moment + un algo qui sort le nombre d'étapes nécessaires.

En réalité, l'algo est venu en premier, et son implémentation prouve que ça s'arrête toujours...

1. Je pars de A, B, C
2. Je calcule G = pgcd(A,B,C), et A',B',C' = A/G, B/G, C/G
3. Nombre d'étapes = 1
3. Je pars de ce triplet et je boucle
3.1 Je trouve le plus grand des trois (qui est la somme des deux autres)
3.2 Je le remplace par la différence des deux autres.
3.3 J'augmente le nombre d'étapes de 1 si le plus grand est le joueur précédent par rapport au dernier qui a parlé, et de 2 si c'est le joueur suivant (il y a une étape "inutile" entre les deux)
4. on boucle jusqu'à arriver à deux fois 1 et une fois 0
5. éventuellement, on ajuste le résultat avec +1 si jamais on termine sur C avec 1 1 0 (une autre étape inutile)

Du coup, on a 3 nombres premiers entre eux, leurs différences le sont tous le temps, on fini forcément par arriver sur 1. C'est l'algorithme d'Euclide !

  A     B     C    #    "changeur"
142    50    92        
 71    25    46     1    
 21    25    46     2    A
 21    25     4     3    C
 21    17     4     4    B
 13    17     4     5    A
 13     9     4     7    B
  5     9     4     8    A
  5     1     4    10    B
  3     1     4    11    A
  3     1     2    12    C
  1     1     2    14    A
  1     1     0    15    C
                   16    A

Il faut 16 tours pour trouver A,B,C dans ce cas

L'algo ? oui c'est simple.

En fait je l'ai fait en sens inverse. Je suis A.
Prenons toutes les affirmations que je connais depuis les deux derniers tours (au troisième tour en arrière, c'est moi qui parlais : j'ai déjà traité toutes les informations précédentes)
Je sais donc que certaines affirmations, de la forme "A = x, B = y, C = z" sont fausses.

Si x = abs(y-z) alors je peux trouver la solution, c'est y+z
Et sinon, alors je rajoute une nouvelle affirmation fausse "A = y+z, B = y, C = z"
(si cette affirmation était vraie, alors on saurait que A hésitait entre |y-z| et y+z, et il aurait du pouvoir répondre)


En sens inverse : l'affirmation fausse qui me sert provient d'où ? D'une autre affirmation, où deux valeurs ont été sommées pour en faire une troisième.

Dans mon exemple: 71    25    46
==> l'affirmation qui me sert est "21,25,46" est impossible
==> elle vient de l'affirmation "21, 25, 4" est impossible
==> elle vient de l'affirmation "21, 17, 4" est impossible
etc...
Chacune de ces affirmations peut être au tour précédent, ou deux tours auparavant : ça dépend de qui a été sommé.

Et pour prouver que ça s'arrête :

1. Posons A,B premiers entre eux
alors C = A+B et C' = A-B sont aussi premiers avec A et B
==> donc à chaque étape, on a toujours un triplet de nombres premiers entre eux

2. Aucun nombre ne vaut 0 sauf si les deux autres sont 0 ou 1.
en effet, C = 0 par exemple vient forcément de l'étape A=x, B=x, C=2x ==> C' = x-x=0
Or, A et B étant premiers entre eux (cf résultat 1), alors x=1 ou x=0

3. On a donc 3 nombres premiers entre eux, dont le plus grand élément est définie par une suite strictement décroissante tant qu'il est > 1 (strictement ==> cf resultat 2, il n'est monotone que si une des valeurs est 0)
Argument de la descente infinie : le plus grand des trois converge et atteint la valeur 1.

4. On a trois nombres, A B et A+B avec A+B = 1 et A,B = 0 ou 1 (cf resultats 2 et 3)
==> A = 0, B = 1, C = 1 (ou l'inverse)