Saban Suresh: tu n'as pas pris en compte une donnée de l'énoncé qui est très importante et augmente la probabilité

* Peux tu expliciter clairement les règles de transmission des groupes sanguins que tu retiens pour ce problème ? Il existe des tas de cas pathologiques (groupe Bombay, etc), je suppose que tu les négliges. Pour le système ABO, je pense que ton énoncé est clair, mais pour le système Rhésus, quelle est la règle de transmission ?

* Même en ignorant le Rhésus, il me semble que le problème est mal posé. Imaginons 2 cas : dans le cas 1, 99,99% des gens de la population de phénotype A sont de génotype AA, et donc 0,01% de génotype AO ; dans le cas 2, c'est l'inverse. Ainsi, dans le cas 1, la proba que tu sois de génotype AO comme tes soeurs avoisine les 100% ; tandis que dans le cas 2, la proba que ta mère soit de génotype AO est très proche de 100%, même en sachant que tes soeurs sont de phénotype A, et donc la proba que tu sois de même génotype que tes soeurs est proche de 50%.

Tiens-tu compte des statistiques de répartition des groupes sanguins dans la population française, ou décides-tu que, sans plus de renseignements que ça, ta mère a autant de chances d'être AA que AO ?

Ah le rhésus + est dominant ? Du coup :

3/4 de chance d'être A

Père : + + ou + -
Mère : + + ou + -

Alors 4 tableaux possibles avec 100%, 100%, 75% et 100%.
Du coup, la probabilité qu'il soit rhésus + est de 93,75 %.

Donc je trouve 3/4*93,75 = 70,3125%

Euh ...

@Promath : OK pour tes remarques pour le non-biologiste. Par contre, ta réponse pour mon autre question ne me satisfait pas, je vais expliquer pourquoi.

Imagine que tu n'aies pas de soeur : je suppose que tu considères qu'on peut aussi calculer la proba que tu sois AO, ou OO. Et je suppose que pour cela, tu considères qu'il y a 1 chance sur 2 que ta mère soit AO, et 1 chance sur 2 qu'elle soit AA.

Si c'est bien le cas, il faut que tu précises ce "1 chance sur 2" dans ton énoncé, car il n'a rien d'évident. C'est comme de dire "je sors dans mon jardin, il y a 1 chance sur 2 que je me prenne un avion sur la tête, et 1 chance sur 2 que je ne m'en prenne pas" : ce n'est pas parce qu'il y a 2 possibilités qu'elles sont équiprobables...

Le même problème se pose pour le Rhésus.

Mais je ne comprends pas en quoi tes soeurs font varier la probabilité ...
Vos cas sont indépendants, non ?

Tout d'abord, il n'y a aucune raison de considérer que ta mère a autant de chances d'être AA que AO, sans plus d'information que ça. C'est une erreur courante mais une grave erreur que de considérer que l'équiprobabilité va de soi dans un problème où l'on n'a pas d'informations permettant de pencher pour un cas plus que pour un autre. Si tu sors du contexte réaliste et pose ça comme un axiome, alors tu dois au moins l'annoncer dans ton énoncé.

D'autre part, tiens-tu compte du facteur Rhésus dans le génotype ?
Si oui, tes sœurs n'ont pas forcément le même génotype, comme la question posée le sous-entend : il peut être AO+- ou AO++
Sinon, pourquoi mentionner le Rhésus ?
Bon, je pense quand même que tu ne voulais pas tenir compte du facteur Rh dans le génotype.

Ceci étant dit, si l'on raisonne avec ces données là, alors :

p(mère AA | 2 filles A) = p(mère AA et 2 filles A) / p(2 filles A)

avec p(mère AA et 2 filles A) = p(mère AA) = 1/2

et p(2 filles A) = p(mère AA et 2 filles A) + p(mère AO et 2 filles A) = 1/2 + p(mère AO) * p(2 filles A | mère AO) = 1/2 + 1/2 * 1/2 * 1/2 = 5/8

Finalement, p(mère AA | 2 filles A) = (1/2) / (5/8) = 4/5

Ainsi p(toi A) = p(mère AA | 2 filles A) + p(mère AO | 2 filles A) * P(toi A | mère AO) = 4/5 + 1/5*1/2 = 9/10

Donc, la probabilité que ton génotype soit AO (c.à.d ton phénotype A) est égale à 90%.

Bon, en me basant sur ton commentaire suivant : "Oui, si je n'avais pas de soeurs, ma mère aurait une chance sur 2 d'être AO ou AA, mais j'ai deux soeurs justement, donc ça fait varier. Idem pour le rhésus", je peux me lancer.

D'abord, le système ABO. Si ta mère est AO, il y 1 chance sur 4 que tes deux soeurs soient AO, et si ta mère est AA, il y a 4 chances sur 4 que tes deux soeurs soient AO. Donc il y a 1/5 que ta mère soit AO, et 4/5 que ta mère soit AA. Dans le premier cas, tu seras AO avec la proba 1/2 et dans le deuxième, tu seras AO avec la proba 1, donc au total, ça fait 1/5.1/2 + 4/5.1 = 9/10 que tu sois AO.

Maintenant, le système Rhésus. Avoir deux filles de Rhésus +, c'est possible si :
* Père ++ et Mère ++ : proba 1
* Père ++ et Mère +- : proba 1
* Père +- et Mère ++ : proba 1
* Père +- et Mère +- : proba 3/4.3/4 = 9/16

Donc sachant que tes deux soeurs sont +, voici les probas des 4 cas :

* Père ++ et Mère ++ : proba 16/57
* Père ++ et Mère +- : proba 16/57
* Père +- et Mère ++ : proba 16/57
* Père +- et Mère +- : proba 9/57

Dans le premier cas, tout le monde sera ++ et tu auras le même génotype rhésus que tes soeurs.
Dans le deuxième cas, c'est l'allèle fourni par la mère qui détermine le génotype de chaque enfant. La proba d'avoir 3 enfants avec le même allèle est 1/4.
Même raisonnement dans le troisième cas.
Dans le quatrième cas, il faut que mes soeurs soient toutes deux ++ (proba 1/9) et que je sois ++ (proba 1/4), ou que me soeurs soient toutes deux +- (proba 4/9) et que je sois +- (proba 1/2).

On somme : 16/57 + 16/57.1/4 + 16/57.1/4 + 9/57.(1/9.1/4 + 4/9.1/2) = 35/76 (proba que tu aies le même génotype Rhésus que tes 2 soeurs).

Et enfin, en combinant ABO et Rhésus : 9/10.35/76 = 63/152 (proba que tu aies le même génotype que tes 2 soeurs).

PS : non, franchement, ça n'a rien d'évident que sans tes soeurs, ta mère aurait une chance sur 2 d'être AO ou AA. On peut dire par exemple qu'il y a 4 possibilités : AA, AO, OA, et OO, et donc que AA a la proba 1/3, et AO la proba 2/3... Désolé j'avais besoin de me plaindre

Promath, je te parlais de l'équiprobabilité si tu ne savais pas pour tes deux soeurs !
C'est une hypothèse qui permet de mathématiser simplement le problème, mais qui ne va pas de soi, et ne correspond pas à la réalité.

Allons-y à présent pour le Rhésus : là encore, considérer que les allèles Rh+ et Rh- sont équiprobables ne va pas de soi, et n'est pas réaliste. En France par exemple, la répartition est environ 60%-40%. Faisons tout de même cette hypothèse de travail, car j'imagine que c'est ce que tu as fait.

Alors :

1) Déjà, pour une personne donnée, les répartitions des génotypes pour le Rhésus sont : ++(25%), +-(50%) et --(25%)

2) Par conséquent, pour une personne de phénotype +, les répartitions sont ++(1/3) et +-(2/3).

3) Ensuite :
p(parents ++ et ++ et 2 filles + | parents+) = 1/9
p(parents ++ et +- et 2 filles + | parents+) = 4/9
p(parents +- et +- et 2 filles + | parents+) = 4/9 * 3/4 * 3/4 = 1/4
donc p(2 filles + | parents +) = 29/36

4) Ainsi :
p(parents ++ et ++ | 2 filles et parents +) = (1/9) / (29/36) = 4/29
p(parents ++ et +- | 2 filles et parents +) = (4/9) / (29/36) = 16/29
p(parents +- et +- | 2 filles et parents +) = (1/4) / (29/36) = 9/29

5) Ensuite :
p(parents ++ et ++ et 3 enfants même génotype  | 2 filles et parents+) = 4/29
p(parents ++ et +- et 3 enfants même génotype  | 2 filles et parents +) = 16/29 * 1/2 * 1/2 = 4/29
p(parents +- et +- et 3 enfants +- | 2 filles et parents +) = 9/29 * 2/3 * 2/3 * 1/2 = 2/29
p(parents +- et +- et 3 enfants ++ | 2 filles et parents +) = 9/29 * 1/3 * 1/3 * 1/4 = 1/116

Finalement, sachant que les parents et les 2 filles sont de phénotype +, la probabilité que les 3 enfants aient le même génotype pour le Rhésus est égale à : 4/29 + 4/29 + 2/29 + 1/116 = 41/116

En conclusion, la probabilité que tu aies le même génotype que tes sœurs est donc égale à : 9/10 * 41/116 = 369/1160

Je ne sais pas si c'est ce que tu attends sur le plan mathématique, mais voici ma réponse...

Probabilité d'être A+ comme ses sœurs = 59,26%.
Le fait que les sœurs soient A+ n'influence pas la probabilité du groupe sanguin du frère: à chaque fécondation, les probas restent les mêmes.

Je ne sais pas si j'ai bon sur le plan proba, mais je pense avoir listé toutes les possibilités de génotype et de phénotype correspondants.

J'ai modifié le tableau en ajouitant une ligne pour les gènes que peuvent transmettre chaque parent selon leur génotype - 2ème sous-tableau).

A plus!

@ promath : consideres-tu que quelqu'un qui est de phénotype + a une chance sûr 2 ou bien une chance sur 3 d'être de génotype ++ ?