Spoiler : [Afficher le message] Supposons qu'un cercle soit de rayon 1, chaque cercle englobe donc au moins un point à coordonnées entières. On peut donc réaliser une injection de l'ensemble des cercles vers N^2 (on choisit un seul des points à coordonnées entières présent dans le cercle). Donc le nombre de cercles est soit fini, soit discret.
Le nombre d"'infini" réalise lui aussi un injection vers les cercles (on choisit un cercle sur  les deux qui composent l'infini)
On en déduit que le nombre d'"infini" est également dénombrable)

(Si le cercle à un rayon plus petit, on choisit un repère avec une échelle plus petite pour être sûr que chaque cercle contiennent un point à coordonnées entière)
Edit:
Désolé, je n'avais pas compris que les "infinis" pouvaient être de taille différente (c'est juste les deux cercles d'un infini qui ont la même taille.
Pour répondre au problème, il suffit d'adapter légèrement la solution, en montrant que tout cercle contient un élément de Q^2 (car Q^2 est dense dans R^2 et est dénombrable)
Edit2:
Si l'on prend en compte que deux "infinis" peuvent être imbriqués, il faut montrer que l'on peut choisir un rationnel qui n'appartiennent à aucun autre "infini"

@ Golgot59 :
Considère une catégorie des " infinis "  qui ne se s'emboitent pas les uns dans les autres (selon la définition d'Ebichu). Tu peux les compter avec un polygone en spirale reliant leur centre.

En revanche, il reste un doute, car il y a tout de même une infinité de catégories. Et je ne sais pas trop si une infinité d'infinis dénombrables est dénombrable....

nodgim
Une infinité dénombrable d'infini dénombrable est dénombrable, il suffit de faire une bijection de N^2 vers cet ensemble pour le montrer (et N^2 est bien évidemment dénombrable, résultat connu, voir par exemple la fonction de  couplage de Cantor)

En revanche, Ebichu ne détaille pas beacoup sa démonstration...

L'idée de départ est que si deux "infinis" sont l'un dans l'autre, alors le rayon des cercles du plus grand est au moins égal au double de celui des cercles du plus petit.

On s'en fiche, on n'utilise pas ça dans la suite de la démo, le découpage proposé fournit une partition des infinis, ça suffit pour la suite...

Deux "infinis" de E[1;2[ ne peuvent être l'un dans l'autre, donc chaque "infini" occupe une aire strictement positive du plan (son intérieur), donc les "infinis" de E[1;2[ sont en nombre dénombrable.

Tout les infinis occupent une aire strictement positive, quelles que soient leur catégories, si on avait ce résultat, on déduirait immédiatement le résultat. L'intérêt d'avoir découpé en catégories est que les infinis d'une même catégorie ont leur aire minorée par un réel strictement positif.

Il reste donc juste ça à démontrer, ce qui n'est pas forcément évident. On peut le faire en utilisant la première partie de mon raisonnement, mais je serais intéressé si tu en avais une autre Ebichu

Golgot
Ici, on cherche à montrer qu'on ne peut que mettre une infinité dénombrable d'"infinis", et qu'il est impossible d'en mettre un infini plus grand.
Ca tourne autour de la théorie de Cantor sur les tailles d'infinis.
On remarque qu'il n'est plus possible de caractériser la taille des infinis par leur nombres d'éléments, car il est infini.
L'idée est de revenir à la base: deux ensembles ont la même taille s'il peuvent être mis en bijection, c'est à dire que chaque élément du premier ensemble peut être associé à un unique élément du deuxième ensemble, et tout les éléments sont utilisés.
Par exemple, si je prend les ensembles {rouge, vert, noir} et {voiture, camion, moto}, on peut associer rouge <=>voiture ,  vert <=> camion, noir <=> moto, et tout les éléments ont été utilisés, les deux ensembles ont donc la même taille.

De la, ont dit qu'un ensemble contient n éléments s'il peut être mis en bijection avec [[1,n]]
Par exemple, on peut réaliser les assonciations rouge <=> 2 , vert <=> 3 , noir <=> 1
C'est une bijection entre {rouge, vert, noir} et {1,2,3} = [[1,3]] donc {rouge, vert, noir} est de taille 3.

L'idée est que deux ensembles infinis sont "de même taille", on dira équipotent, s'il peuvent être mis en bijection.

Par exemple, l'ensemble des entiers, et l'ensemble de nombres pairs sont de même taille (équipotent) car on peut réaliser la bijection: 1<=>2, 2<=>4, 3<=>6, ..., n<=>2n, ...
Ca peux sembler bizarre, mais c'est du à notre définition de "même taille". On aurait pu dire qu'un ensemble est plus petit qu'un autre s'il est inclus dedans, et alors les nombres pairs sont moins nombreux que les entiers, mais ce serait une autre définition.

En procédant de la même façon, on peut montrer qu'il y a autant d'entiers que de carrés parfaits, que de couple (n,p) d'entiers, que de fractions... ces ensembles sont appelés dénombrables.

Par contre, Cantor a montré qu'il y avait beacoup moins d'entiers que de nombres réels. L'infinité des nombres réels n'est donc pas dénombrable. L'idée de cet exo est donc de montrer que l'on ne pourra jamais mettre autant d'"infinis" que de nombres réels

On ne peut mettre qu'un nombre dénombrable de cercles concentrique, voir ma démo:
En effet, il existe une aire non nulle entre deux cercles successifs, et cette aire contient au moins un point (n,p) où n et p sont rationnels.
On peut donc réaliser une injection de l'ensemble des cercles vers l'ensemble des rationnels. donc il y a moins de cercles que de rationnels, donc un nombre dénombrable de cercles.

Ce que tu n'as pas démontré, c'est que l'on ne peut mettre qu'un ensemble dénombrable d'objets possédant une aire positive dans le plan, ce qui ne semble pas évident au premier abord...

On sait que [latex]\mathbb{R}^2[/latex] est indénombrable.

Si on peut placer un nombre indénombrable d'infinis dans [latex]\mathbb{R}^2[/latex] alors il existe une bijection entre l'ensemble des infinis et [latex]\mathbb{R}^2[/latex] : autrement dit je peux placer un infini en chaque point de [latex]\mathbb{R}^2[/latex]. Or cela est impossible puisqu'un infini occupe un sous-espace non ponctuel de [latex]\mathbb{R}^2[/latex] et qu'ils doivent être 2 à 2 disjoints.

Personnellement, un ensemble infini qui est dénombrable me parait d'une absurdité totale. Pas la peine d'essayer de me démontrer le contraire...

Les mathématiciens ont parfois le ciboulot complètement dérangé, pour arranger les notions avec des notions et en inventer une s'il n'y en a pas ...
Et Spoiler : [Afficher le message] Pas la peine d'essayer de me démontrer le contraire...  

gwen27 a écrit:

Personnellement, un ensemble infini qui est dénombrable me parait d'une absurdité totale. Pas la peine d'essayer de me démontrer le contraire...

Les mathématiciens ont parfois le ciboulot complètement dérangé, pour arranger les notions avec des notions et en inventer une s'il n'y en a pas ...
Et Spoiler : [Afficher le message] Pas la peine d'essayer de me démontrer le contraire...  

C'est effectivement difficile à ingurgiter cette drôle de notion d'infini dénombrable. Il faut juste se mettre en tête que "dénombrable" signifie ici qu'on peut mettre en bijection avec les entiers. La cèlèbre diagonale de Cantor prouve que les réels entre 0 et 1 ne sont pas dénombrables: Même si tu penses en faire la liste (infinie) exhaustive, il t'en manquera. Perso, il y a des jours où je suis convaincu de la véracité de cette preuve, d'autres jours non. Mais c'est sans doute dû au fait que je l'ai apprise seul, hors cadre scolaire.

Justement non.
Tu peux faire la liste complète de tous les cercles concentriques, ta liste fut elle infinie, il t'en manquera une infinité.

nodgim a écrit:

Justement non.
Tu peux faire la liste complète de tous les cercles concentriques, ta liste fut elle infinie, il t'en manquera une infinité.

Euh , tu répètes ce que je dis en disant que c'est faux

Chacun d'entre vous s'enterre un peu plus...

Mes cercles de rayon compris entre 0 et 1 sont-ils traçables dans un plan ?

C'est juste idiot.

Un infini est moins infini, donc il n'est pas infini.

Je peux tous les placer, le plan est infini.

Personne ici ne s'enterre. Tout au moins ceux qui ont déja étudié les infinis mathématiques.
Rien ne t'empêche d'imaginer tous les cercles tracés, ce qui correspond, pour les diamètres, à toutes les valeurs possibles entre 0 et 1 (si ton cercle initial vaut 1). Autrement dit, tous les points du segment, autrement dit le segment lui même : tu as atteint le continu. Si tu veux te référer aux seuls cercles en bijection avec les entiers, tu peux par exemple prendre les cercles de diamètre les nombres décimaux compris entre 0 et 1, c'est à dire les valeurs à écriture décimale finie. J'espère que tu comprends bien qu'entre les nombres décimaux et les nombres réels, il y a tout de même une différence. Et bien c'est de cette différence là qu'on parle.