Bonnes réponses de gabrielduflot et de Vasimolo.
C'est vrai qu'avec le théorème de Gauss, la demonstration du a) et du b) est assez simple. A l'époque où j'ai eu ce probleme sous les yeux, je ne connaissais pas encore ce fameux théorème, voici donc une démo pour le a) qui ne résoud pas le b), mais sans passer par le théorème de Gauss. Dans un premier temps, on va montrer que:
1) tous les angles multiples de 3° sont constructibles
2) 20° n'est pas constructible, et donc seuls les multiples de 3 sont constructibles.
Ca ressemble beaucoup au travail de gabrielduflot.
Le théorème de Gauss est beauccoup plus puissant, surtout dans la 2nde partie, comme le montre Vasimolo.
1) on sait construire: 60° (triangle équilatéral) et 72° (pentagone, au centre).
On peut aussi additionner / soustraire deux angles, et diviser un angle en 2 (bissectrice), donc à partir de 72 on peut constuire 9° (72/2/2/2), à partir de 60 on peut construire 15° (60/2/2), donc en les soustrayant, on peut construire 6° (15-9), donc 3° (6/2) et par la meme tous les nombres de la forme 3k en additionnant 3° k fois.
2) 20° n'est pas constructible
Il existe un théorème appelé théorème de Wantzel, qui donne un condition necessaire mais non suffisante pour déterminer si un nombre est constructible ou pas.
Théorème de Wantzel: Si un réel r constructible, alors son polynôme minimal est de degré 2^n.
Pour faire simple, si on peut construire un réel r, alors on peut trouver un polynome de degré 2^n qui admet r comme racine, mais pas de polynome de degré 2^n-1
Via ce théorème, on montre que 20°, alias pi/9 n'est pas constructible. En effet, si l'angle pi/9 était constructible, on pourrait construire cos(pi/9).
On remarque que cos(4pi/9) + cos(5pi/9) = 0 car ces deux angles sont complémentaires.
Posons x = cos(pi/9), on a
cos (5p/9) + cos (4p/9) = 0
16x5 +8x4 -20x3 -8x2 +5x +1 =0 (formules d'addition ou polynome de Tchebychev pour aller plus vite)
On factorise par x+1 et x-1/2:
(x+1)(x-1/2)(16x3-12x-2) = 0
16x3-12x-2 est irreductible et de degré 3, qui admet comme solution cos(pi/9)
Conclusion: on ne peut pas construire cos(pi/9), pas plus que l'ange pi/9, alias 20°
Donc on ne peut pas construire 1° ou 2° (sinon en l'additionnant 20 fois / 10 fois de suite, on construirait 20°, ce qui est impossible).
Or, supposons un angle 3k+p constructible (k et p entiers, 0<=p<3), alors si on lui retranche 3k (qui lui est constructible), on trouve p constructible, donc p=0.
Tout angle constructible à mesure entière en degré est donc necessairement de la forme 3k, avec k entier
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michi
