Bon déjà pour commencer si [latex]n=1[/latex] alors il n'éxiste aucun couple d'entier naturel [latex](x,y,z)[/latex] tel que [latex]n^x+n^y=n^z[/latex] car si
[TeX]x=y=z=0[/latex] le plus entier naturel on aura : [latex]1^0+1^0=1^0 [/TeX]
[latex]2=1[/latex] c'est faux.

Bon je pense que je ne peux pas aller plus loin, je pense que les logarithmes et peut-être les modulos sont de rigeure pour résoudre cette horreur
Heureux d'avoir pu commencer un peu
Shadock

J'dirais bien qu'il n'y a de solutions que pour n=2, et qu'elles sont les éléments de l'ensemble des triplets (x,y,z) tels que x=y et z=x+1, mais je dis ça au hasard...

ok, j'avoue, j'ai omis les solutions triviales : x=0 et y=z (et vice-versa) qui marchent pour tout n. Merci de me permettre de compléter :-)

C'est plus facile de suivre les traces de Seliw que celles de Wiles

Essayons de ne pas mettre 300 ans pour résoudre cette conjecture, comme Wiles pour celle de Fermat :-)

Pour le cas n=0 :
Si z est nul, avec la convention 0^0=1, on doit avoir pour x et y : un nul et un non nul.
Si z est non nul, alors x et y doivent être non nuls.

Dans le cas n=1, tout triplet (x,y,z) est solution aucune solution évidemment, 1+1 = 2 et n'est jamais égal à 1 ...

Pour n>2, petite astuce : on va raisonner en base n.
Toute puissance de n s'écrit donc comme un 1 suivi de plusieurs 0. Or si n>2, en additionnant deux tels nombres, on ne tombe jamais sur un 1 suivi de plusieurs zéros. On a au mieux un 2 suivi de plusieurs 0, ou deux 1 au milieu de zéros, et ce ne sont pas des puissances de n.

Reste le cas n=2.
D'après ce qui précède, la seule possibilité est x=y, et z=x+1.

Finalement les solutions sont pour (n,x,y,z) :
(0,x>0,y>0,z>0)
(0,0,y>0,0)
(0,x>0,0,0)
(1,x,y,z)
(2,x,x,x+1)

EDIT
Je me rends compte que j'ai oublié deux cas :
(0,x>0,0,0) et (0,0,y>0,0)

Déjà une réponse complète de Toni77 et quasi-complète de Gasole et Looping007

Essayez , c'est facile

Vasimolo

Je rappelle qu'en France 0 est considéré comme un entier naturel

Vasimolo

On choisira de chercher [latex](x,y,z)[/latex] tels que [latex]x \leq y[/latex] (ce n'est qu'un choix).

On considèrera que [latex]n[/latex] est non nul (j'y reviendrai).

Si [latex]x=0[/latex] l'équation devient [latex]n^y + 1 = n^z[/latex] : deux puissances du même entier non nul séparées de 1, ça n'existe que pour 2. Si [latex]n=2[/latex], le triplet [latex](0,0,1)[/latex] est solution.

Pour [latex]x \neq 0[/latex] on peut écrire : [latex]n^x + n^y = n^z \Leftrightarrow n^x(1 + n^{y-x})=n^z \Leftrightarrow 1 + n^{y-x} = n^{z-x}[/latex] : idem, et le triplet [latex](x,x,x+1)[/latex] est donc solution pour [latex]n=2[/latex] (pas de solution pour n autre que 2).

D'où le grand théorème de Tamref :

Noitauqé'l [latex]n^x+n^y=n^z[/latex] a'n sap ed snoitulos serèitne elleuq euq tios al ruelav ed [latex]n[/latex] non ellun te etneréffid ed 2.

Ruop [latex]n=2[/latex], tuot telpirt [latex](x,x,x+1)[/latex] tse noitulos ceva [latex]x[/latex] reitne lerutan.

En revanche, si [latex]n[/latex] est nul, tout triplet [latex](x,y,z)[/latex] où aucun de ces entiers n'est nul fait bien entendu l'affaire, grâce au fameux théorème de la Tête a Toto.

Je rajoute : puisque [latex]0^0=1[/latex] par convention, alors les triplets [latex](x,0,0)[/latex] et [latex](0,x,0)[/latex] sont aussi solutions pour [latex]n=0[/latex].

Les solutions seront notées (N,X,Y,Z)
On va distinguer plusieurs cas suivant N:

Cas N=0
Dans ce cas, on a plusieurs possibilités: 0^a = 1 si a vaut 0, et 0 sinon.
Donc {(0,x,y,z) tq x>0, y>0, z>0} est un ensemble de solutions, ainsi que {(0,x,0,0) tq x>0} et {(0,0,y,0) tq y>0}

Cas N=1
Dans ce cas, pour tout A, n^A = 1, et comme on n'a pas 2 = 1, il n'y a pas de solution.

Cas N=2
Sous-cas: x et y son égaux
Dans ce cas, 2^x+2^x = 2*2^x = 2^(x+1); donc {(2,x,x,x+1)} est un ensemble de solutions
Autre sous-cas: x et y sont différents
Dans ce cas, en binaire, 2^x et 2^y n'ont pas le même nombre de zéros et leur somme s'écrit donc avec 2 fois le chiffre 1 (un en position x, l'autre en position y; en commençant à compter de 0 par la droite). Un tel nombre n'est pas une puissance de 2 et ne peut donc pas s'écrire sous la forme 2^z. Il n'y a donc pas de solutions dans ce cas.

Enfin, cas N>2.
Le même raisonnement que ci-dessus, en base N, reste valable: si x=y, alors 2^x+2^y s'écrit "20000..." en base N, qui n'est pas une puissance de N; sinon il s'écrit avec deux fois le chiffre 1, et même constat dans ce cas.


L'ensemble des solutions est donc
{(0,x,y,z) \ x>0; y>0; z>0} U {(0,0,x,0) \ x>0} U {(0,x,0,0) \ x>0} U {(2,x,x,x+1)}


Edit: je viens de comprendre que Tamref = Fermat à l'envers...

Si [latex]x<y[/latex] alors [latex]n^x+n^y=n^x(1+n^{y-x})[/latex] Or [latex]1+n^{y-x}[/latex] est premier avec [latex]n[/latex]. Donc impossible.
Si [latex]x>y[/latex] on se reporte au premier cas en inter-changeant [latex]x[/latex] et [latex]y[/latex].
Si [latex]x=y[/latex] alors [latex]n^x+n^y=2n^x=n^z[/latex] si [latex]n=2[/latex] et [latex]z=x+1[/latex] qui sont les seules solutions.

Les quadruplés [latex](n,x,y,z)[/latex] solutions sont [latex](\{2,x,x,x+1\})[/latex]

Je vous laisse trouver les nombreuses bonnes réponses parmi celles proposées ( attention aux cas "douteux" avec zéro ) .

Vous ne vous êtes pas laisser retourner par cette conjecture bien plus simple que celle de Fermat résolue par Wiles

Merci à tous pour la participation .

Vasimolo

Pourtant, pour x<0, x^x tend vers -1 quand x tend vers 0, non ? Pourquoi n'as-t'on pas pris -1 pour 0^0 alors ?

Merci pour ce petit enc**age de mouches

Et ton interprétation de ma réplique, un peu moins que du second degré, donc