Une bouteille pour huit, c'est un peu radin quand même.

Ils étaient 8

On prend le problème par la fin :
Quand les 2 convives partent, il y a $2\times\frac{3}{4}$, soit $\frac{6}{4}$ de verres pleins, à redistribuer équitablement.
Les verres sont tous vidés de $\frac{1}{4}$, il n'y a pas de reste, donc 6 + 2 = 8
8 convives au départ, plus que 6 à la fin !

J'ai envie de répondre HUIT, mais je sens qu'il y a une astuce, car il n'est pas écrit que le remplissage initial des verres se faisait jusqu'à ras-bord ; il est simplement écrit que le remplissage est équitable, ce qui laisse supposer qu'ils sont tous remplis de la même façon, mais jusqu'aux deux-tiers seulement (comme la politesse et le bon usage l'exigent).

Supposons que les verres sont initialement remplis à ras-bord. Alors les deux invités qui partent laissent chacun trois-quarts de verre, donc six quarts au total, qu'il faut répartir à hauteur d'un quart dans chaque verre restant. Il y a donc 6 verres restants, soit 8 convives initialement.

Si l'on tient compte d'un remplissage initial partiel des verres, alors la réponse est au maximum 8 convives initialement.

Klim.

S'ils boivent tous un quart de leur verre, il reste les 3/4 du verre aussi pour les 2 qui partent précipitamment. On va donc redistribuer 2*3/4, i.e. 6*1/4.
Et 1/4 étant ce qui est nécessairement pour qu'un verre bu aux 3/4 soit rempli, on en conclut que ce sont exactement 6 verres qui vont pouvoir être à nouveau remplis à 100%.
Donc 6 qui restent et 2 qui sont partis, cela fait 8 personnes présentes au début de la réunion...

Les trois quarts du nombre initial x remplissent x verres moins 2 : $\frac 3 4 x=x-2\Leftrightarrow x=8$

Après avoir bu, chaque convive a donc les 3/4 de son verre de vin.
Soit a le nombre de convive de départ.
On sait que quand on réparti équitablement le contenu des deux verres (égal à 3x2/4) dans le verre de chaque convive restant (égal à a-2), les verres sont pleins. D'où l'égalité suivante :
(3x2)/(4(a-2))+3/4=1
<=> (3x2)/(4(a-2))=1/4
<=> 6/(a-2)=1
6=a-2
a=8 !

Il y a $n$ convives.

Au début, chacun a la même quantité de vin, disons un volume $v$, et la bouteille est de volume $nv$.

Chacun boit un quart de son verre, il reste donc un volume total de vin $n(3v/4)$ qui remplit exactement $n-2$ verres de contenance $V \geq v$.

Si $V = v$, on obtient $3n/4 = n-2$ et il y avait $8$ convives en début de soirée. Sinon, aucune idée...

les deux invités laissent les 3/4 de leurs verres donc il reste 2*3/4 = 6/4 à répartir
dans les 6 verres restants qui avaient perdu chacun 1/4 de leur contenu.
les convives étaient donc huit

Trop compliqué pour moi ces maths.
Par contre, je veux bien boire un
avec eux

Comme je l'ai signalé à darkcod en MP, il y a une difficulté dans son énoncé: rien ne dit en effet que les verres sont remplis initialement, rien du tout...

On est donc obligé de considérer tous les cas. De la même façon boire un quart de son verre est légèrement ambigu: est-ce un quart du contenu ou un volume égal à un quart du volume total du verre?

Ceci étant dit, la difficulté de ne pas dire que les verres sont pleins au début rend l'énigme plus intéressante et lui permet d'avoir plusieurs réponses, tout à fait dans l'esprit des problèmes de la FFJM. Donc pourquoi pas?

Par contre une case réponse qui ne valide rien, ce n'est pas très utile...

Merci en tout cas à darkcod pour avoir posé cette énigme.

Je recommence parce que j'ai une autre idée.

Il y a N personnes. Chaque verre est rempli à 75cl/N.
Chacun en boit un quart (du contenu).
2 personnes déversent 3/4 de leur verre dans N-2 verres. Ceux-ci sont alors exactement rempli, càd à 75cl/6 = 12,5 cl.

Ce qui donne 3/4 * 75/N + (2 * 3/4 * 75/N) / (N-2) = 12,5

Et il vient,

3/4N * (1 + 2/(N-2)) = 1/6
3/4N * (N - 2 + 2)/(N-2) = 1/6
3/4(N-2) = 1/6
2(N-2)/3 = 3
N = 13/2 = 6,5 personnes

Soit 6 personnes et un enfant.

C'est beaucoup mieux comme ça

kosmogol a écrit:

rivas a écrit:

On note aussi qu'on a le cas d'égalité pour N=8: les verres étaient pleins au début et le sont encore après la redistribution.

Ce qui n'est pas conciliable avec un grand vin !
Soit c'était de la piquette, soit Robert est un rustre.

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vive le bourgogne

Tout à fait d'accord