(1) La fréquence des cartes dont le code compte quatre chiffres différents est :
(10x9x8x7)/(10x10x10x10)=63/625=0.504
Donc la proba d'avoir au moins deux chiffres identiques est 1-0.504=0.496

(2) Il y a :
- 1000 nombres de quatre chiffres avec les unités et les dizaines identiques.
- 1000 nombres de quatre chiffres avec les dizaines et les centaines identiques, dont 100 déjà comptés avec les unités et les dizaines identiques (+900 cas)
- 1000 nombres de quatres chiffres avec les centaines. Parmi eux, on a déjà compté le cas où la centaine était identique (10x10 cas) et le cas où l'unité et la dizaine sont identiques (2x2 chiffres, 9x10 cas : on exclu le cas où tout est pareil, déjà ôté précédemment). Bilan :+810 cas

Total : 2710 cas sur 10000 donc P=0.271

Bonjour,

Comme elle est plus facile que l'autre, je passe quelques minutes dessus Et là horreur!!! Je crois que l'énoncé à une petite faiblesse Je crois que la question 1, vu ce que valide la case réponse devrait être: "... AU MOINS 2 chiffres identiques".
Je m'explique. Si on cherche exactement 2 chiffres identiques, il y a [latex]\binom{4}{2}=6[/latex] façons de choisir quels sont les positions des chiffres identiques (2 choix parmi 4 possibles), 10 choix pour ce chiffre commun puis 9*8 choix pour les 2 autres chiffres, soit 6*10*9*8 combinaisons sur 10000 possibles soit donc 43,20%. La case réponse n'accepte pas 43. J'ai donc pensé à au moins 2 chiffres identiques. On calcule le nombre de combinaisons n'ayant aucun chiffre identique: 10 choix pour le premier chiffre, 9 pour le second, ... soit 10*9*8*7=5040. Il y a donc 4960 combinaisons ayant au moins 2 chiffres identiques, soit 49,6% arrondis à 50% validés par la case réponse.

Pour le 2, il y a trois façons de choisir la position des chiffres identiques: XX.. .XX. et ..XX. Pour chaque position il y a 10 façons de choisir le chiffre présent en double.
Pour la combinaison .XX. il y a 9 choix pour le premier ET le dernier chiffre. On demande seulement que ça ne soit pas le même que le chiffre répété (sinon on a 4 chiffres identiques et non 2).
Pour les combinaisons ..XX et XX.. par contre tout dépend si on autorise 2 combinaisons de 2 chiffres identiques dans le même code. Je vais partir sur le fait qu'on demande les combinaisons avec 2 et seulement 2 chiffres identiques qui se suivent (on exclut donc XXYY). Le choix du 2eme chiffre ne doit pas être X, le choix du dernier ne doit pas être Y (mais peut-être X).
Il y a donc: 10*9*9(.XX.)+10*9*9(..XX)+10*9*9(XX..)=2430 soit 24,3%.

Si on autorise les combinaisons XXYY: 2 fois 2 chiffres identiques qui se suivent, la contrainte sur les combinaisons XX.. et ..XX changent, il y à 9 choix pour le . touchant le X mais 10 pour l'autre. Il y a donc 10*9*9+2*10*9*10=2610 soit 26,1%

Si l'esprit de la deuxième question est aussi: AU MOINS 2 chiffres identiques qui se suivent, on repart de XX.., .XX. et ..XX. Pour chaque combinaison, il y a 10 choix pour X, comptons les possibilités pour les .: Pour XX.., on a 100 choix. Pour .XX., on n'a que 9 choix pour le premier .: on exclut X pour éviter de compter une deuxième fois une combinaison déja prise en compte dans le décompte des XX. Il y a donc 90 choix et pour la combinaison ..XX, on exclut X des 2 premiers pour la même raison, soit 81 choix. Il y a donc: 10*100+10*90+10*81=2710 soit 27,1%

Voila, voila. J'espère ne pas m'être trompé dans tous ces dénombrements.
Merci.

Si tous les chiffres sont différents alors on a 10 choix pour le premier, 9 pour le deuxième, 8 pour le 3e ...
Donc 1 - 10/10*9/10*8/10*7/10 = 0.496 chances d'avoir au moins deux chiffres identiques
Si les chiffres qui se suivent sont différents alors on a 10 choix pour le premier, 9 pour le deuxième, 9 pour le 3e ...
Donc 1 - 10/10*9/10*9/10*9/10 = 0.271 chances d'avoir au moins deux chiffres consécutifs identiques

Allez, vraiment pour te faire plaisir (...je suis mauvaise langue, c'est aussi parce que tes questions diffèrent quand même un peu de celles concernant les IP).

1) Je choisis le premier chiffre du code au pif. J'ai neuf possibilités sur 10 pour choisir un deuxième chiffre différent du premier, puis 8 sur 10 pour choisir un troisième chiffre différent des deux premiers, puis 7 sur 10 pour un dernier chiffre différent des trois autres. Ainsi, la proba d'un code n'utilisant pas deux fois le même chiffre est de 9x8x7/1000 = 50,4 %. On passe à l'inverse : 49,6 % des codes de carte bleue utilisent un même chiffre deux fois (la case réponse valide 50, pour fêter ça). Ce qui est un résultat qui m'étonne : intuitivement, j'aurais dit beaucoup moins (15 ou 20%, peut-être).

2) Rebelote. Quel que soit le premier chiffre, j'ai neuf chances sur 10 que le second soit différent. Quel que soit le second chiffre, j'ai neuf chances sur 10 que le troisième soit différent (mais il peut être égal au premier, je m'en tape). Quel que soit le troisième, j'ai également neuf chances sur 10 que le quatrième diffère (et s'il vaut le premier ou le deuxième, OSEF). Soit (9/10)^3 = 72,9 % de chances qu'un code n'ait pas deux chiffres consécutifs identiques. Donc, 27,1 % des codes de CB ont deux chiffres successifs identiques (soit un peu plus de la moitié des codes qui contiennent deux fois le même chiffre, ce qui paraît logique : si on note les chiffres ABCD, les chiffres identiques dans les codes qui contiennent un même chiffre exactement deux fois peuvent être A et B, ou A et C, ou A et D, ou B et C, ou B et D, ou C et D -- la moitié de ces codes sont concernés par la question 2 -- et les codes contenant plus de deux fois un même chiffre ont tous forcément ce chiffre en deux positions successives).

Les bonnes réponses étaient 49.6 et 27.1.
Bravo à tous les participants