Raisonnement par l'absurde spotted.

Si on prend le cas le plus défavorable, tous les points sont sur la diagonale bas/gauche => haut/droit.
Tous les carrés remplissent la moitié de la figure (ex : la partie entre le coin en haut à gauche et la diagonale), est-ce que la surface occupée par les coins de chaque rectangle (ceux qui sont sous la diagonale) est supérieur au vide entre chaque rectangle déssiné ?

XXXXX
XXXXO
XXXOO
XXOOO
XOOOO

S'il y a 5 points, c'est evident, mais lorsque le nombre de points tend vers l'infini ?

Il semble que pour [latex]n[/latex] points la borne inférieure de l'aire que l'on peut recouvrir serait [latex]\frac{n+1}{n}[/latex] ce qui correspond bien à [latex]n[/latex] points régulièrement répartis sur la diagonale .

Il faut prendre ça avec un gros conditionnel car je n'ai aucune certitude et bien sûr aucune preuve

On peut tout à fait accepter que les rectangles aient des frontières communes , ça simplifie la vision des choses sans rien changer à la borne .

Vasimolo

Je n'ai pas les bases mathématiques pour le prouver, mais l'idée est que pour avoir le moins de surface pavé, il faut que chaque point se gène le plus possible.
Donc l'écart des coordonnées entre le point A(E;F) et le point B(R;S) doivent être minimum en X et en Y. (A et B étant deux points consécutifs)
Pour E=0 et F=0, on a R=S, et donc tous les points sont sur la diagonale.

Tiens! Je pensais que c'était "Domi" qui proposait cette énigme, et j'allais justement lui suggérer de la présenter ici.
ça fait déja plusieurs jours que j'y réfléchis et je n'ai pas de solution, malgré l'évidence de la chose...

J'ai bien remarqué que les problèmes que tu posais sur Math Forum étaient de même nature, mais c'est très curieux, je n'ai pas reconnu ta personnalité dans les 2 sites. Je te trouve ici moins émotif, un peu plus sur le recul, plus posé. Est ce à dire que nos personnalités évoluent en fonction du public ?
J'en suis encore tout retourné, de cette révélation...

Je suis surtout plutôt surpris de cette cachotterie pas bien utile.
Mais bon, c'est pas bien grave. Je ne comprends pas, c'est tout.

Toute cette dernière discussion ne fait pas beaucoup avancer le schmilblick ...
Revenons à notre problème .

Supposons un certain nombre de points régulièrement répartis sur la diagonale issue du coin bas-gauche comme l'a proposé godisdead.
Pour un petit nombre de points, nous sommes tous d'accord que la formule est bien vérifiée.
           
L'aire évolue alors comme 1+ 2/n² et reste bien toujours supérieure à 1.

Lorsque le nombre de points tend vers l'infini, la formule reste vrai à condition que la distance entre 2 bandes soit toujours infiniment plus petite que la largeur d'une bande.
Ce qui devient douteux à la limite, lorsque la largeur d'une bande tend vers zéro ! Sauf si on accepte, comme le propose Vasimolo que les rectangles aient des frontières communes.

Il reste à démontrer que ce cas de figure est un minimum.

Considérons un point quelconque A. Soient a la largeur des bandes et b la longueur du rectangle issu de ce point.
Supposons que l'on impose un petit déplacement de A en A' à ce point.
Le cas le plus défavorable a lieu lorsque le déplacement s'effectue selon la diagonale, vers le bas  :
           
La largeur de l'une des bandes adjacente va devenir a - da, tandis que l'autre va devenir a + da.
L'aire des 2 bandes entourant le point A qui était de 2a.b + a²   devient  : 
(b+da)*(a+da) + (a+b)*(a-da)   soit :  2a.b + a² + da²

Le cas le plus favorable a lieu lorsque le déplacement s'effectue de A en A' selon la normale à la diagonale :
           
La largeur des 2 bandes adjacentes va devenir a + da.
Cette aire passe alors à   :  2a.b + a² + 2b.da

Si le déplacement s'effectue dans une direction intermédiaire, le résultat sera intermédiaire.
Nous avons donc bien un minimum pour le cas où les points sont régulièrement répartis sur la diagonale .
Il reste simplement à prouver qu'il n'existe pas d'autres minimaux ailleurs .

EDIT : La 2ème figure a été remplacée. Ceux qui l'avait déjà chargée sont invité à faire un F5.

Je peux me tromper mais il me semble qu'on peut évacuer les problèmes de limite , on est complètement dans le discret , c'est presque un problème d'échiquier . On peut supposer sans peine que tous les points sont aux nœuds d'un quadrillage orthonormé . On peut aussi évacuer les problèmes de contact entre les petits rectangles , si on arrive à faire plus que 1 avec contact on fera plus que 1 sans contact . Bref on a un échiquier avec des coins inférieurs-gauches imposés et il faut faire un pavage rectangulaire qui recouvre au moins la moitié de l'échiquier .

C'est plus facile à visualiser mais apparemment pas plus simple à résoudre

Content de voir que le problème vous plait

Vasimolo

On peut aussi évacuer les problèmes de contact entre les petits rectangles , si on arrive à faire plus que 1 avec contact on fera plus que 1 sans contact .

Non, je ne suis pas d'accord. Comme vu plus haut par Jackv.
Lorsque le nombre de points tend vers l'infini, la formule reste vrai à condition que la distance entre 2 bandes soit toujours infiniment plus petite que la largeur d'une bande.
Ce qui devient douteux à la limite, lorsque la largeur d'une bande tend vers zéro ! Sauf si on accepte, comme le propose Vasimolo que les rectangles aient des frontières communes.

Prenons un exemple physique :
Sur un carré de 10 cm de coté, tu mets des points sur la diagonale espacée de 1 mm (voir 0.5 mm), et tu essayes sans que les rectangles se touchent de remplir plus de la moitié de ton carré !

godisdead a écrit:

On peut aussi évacuer les problèmes de contact entre les petits rectangles , si on arrive à faire plus que 1 avec contact on fera plus que 1 sans contact .

Non, je ne suis pas d'accord. Comme vu plus haut par Jackv.Lorsque le nombre de points tend vers l'infini, la formule reste vrai à condition que la distance entre 2 bandes soit toujours infiniment plus petite que la largeur d'une bande.Ce qui devient douteux à la limite, lorsque la largeur d'une bande tend vers zéro !

Pas d'accord avec le désaccord .

Les deux limites n'évoluent pas en même temps , on fixe un nombre de points très grand si on veut , mais une fois donné il ne bouge plus puis on affine l'espace entre les rectangles donc contact ou pas contact , le problème est le même .

Vasimolo

A dire vrai je n'ai pas regardé ta théorie en détail , le nombre de point étant fixé , si on peut faire plus que 1 en acceptant les contacts , on peut faire plus que 1 en les approchant , c'est une évidence topologique

Vasimolo