Il y en a au moins [latex]10^{100}[/latex].
Mieux, il y en a au moins [latex]5\times10^{99}\times(10^{100}+1)[/latex].
Mieux, il y en a au moins [latex]10^{100}\left(1+45\times10^{99}\right)[/latex]

@ksavier : Tu es gogolplexement loin du résultat.

@shadock : Oui, c'est la bonne formule. Comme tu dis, y a plus qu'à calculer...
Pour un Gogol, c'est assez facile d'avoir la valeur exacte par ordinateur, mais pour un Gogolplex ?
Je me contenterais d'une bonne valeur approchée, ou mieux, d'un bon encadrement.

Tu comptes les "5", les "25", les "125", etc..., des facteurs.
Il y en a N(1/5+1/5²+1/5³+....)=N/5(1+x+x²+...)= N/4-epsilon
J'ai posé (x=1/5)

Vérification
Le test de 400! avec Wolfram Alpha donne 99 zéros sauf erreur.

Ça fait donc 1/4 de Gogolplex à très peu près, peut-être 1 de moins.

De manière générale, dans [latex]X![/latex], il y a toujours plus de fois le facteur 2 que le facteur 5. On peut donc "seulement" compter le nombre de facteurs 5 qui apparaissent pour connaitre le nombre de zéros.

En notant [latex]E(\cdot)[/latex] la partie entière d'un nombre, on peut écrire que le facteur 5 apparait une fois dans [latex]E \left(\frac{X}{5} \right)[/latex] nombres entre 1 et X, deux fois dans [latex]E \left(\frac{X}{25} \right)[/latex] nombres, etc. On veut donc calculer
[TeX]\sum_{i=1}^{\infty} E \left(\frac{X}{5^i} \right)[/TeX]
et, dans notre cas, [latex]X = 10^{10^{100}}[/latex].
[TeX]\frac{X}{5} = 2 \times 10^{10^{100}-1}[/TeX]
[TeX]\frac{X}{25} = 4 \times 10^{10^{100}-2}[/TeX]
etc. donc
[TeX]\frac{X}{5^i} = 2^i \times 10^{10^{100}-i}[/TeX]
On peut aller jusqu'à
[TeX]\frac{X}{5^{10^{100}}} = 2^{10^{100}}[/TeX]
pour rester dans des valeurs entières. La division par 5 à partir de là s'avère plus problématique...

Ca nous donne déjà une somme partielle :
[TeX]\sum_{i=1}^{10^{100}} E \left(\frac{X}{5^i} \right) = 10^{10^{100}} \sum_{i=1}^{10^{100}} \frac{1}{5^i} [/TeX]
On peut calculer ça en faisant
[TeX]10^{10^{100}} \times \frac{1}{5} \times \frac{1 - \frac{1}{5^{10^{100}}}}{1 - \frac{1}{5}}[/TeX]
soit
[TeX]2^{10^{100}-2} \times \left( 5^{10^{100}}-1 \right)[/TeX]
Le nombre de zéros à rajouter ne doit pas être énorme, mais je ne vois pas vraiment comment l'obtenir pour l'instant.

@Mathias : Oui, tout cela est correct. J'ai réussi à calculer le nombre exact de zéros pour factorielle gogol, mais pas encore pour factorielle gogolplex : je ne sais pas si c'est possible. On peut déjà essayer d'en donner une bonne approximation.

Bravo à shadock qui a trouvé le nombre exact de zéros de factorielle gogol.

Dans le nombre M! le nombre de 0 est obtenu en obtenant l'exposant de 5 dans sa décomposition en nombre premier.

Pour obtenir ce nombre, il suffit de savoir combien de fois on peut diviser par 5 l'ensemble des nombres inférieurs  au nombre M.

Ici [latex]M=10^n[/latex] (avec n>2 et largement même !!)

Avec l'aide d'une suite géométrique de raison 5, on peut démontrer que le nombre de 0 dans M! est égal à la somme de  [latex]2^{n-2}\times(5^n-1)[/latex] et du nombre de 0 dans [latex]2^n![/latex].
Et là je bloque un peu ...

Nombrilist a écrit:

10! a 2 zéros
Est-ce que:

100! --> 21 zéros (2x10+1)
1000! --> 211 zéros (21x10+1)
10000! --> 2111 zéros

Non, par exemple 100! a 24 zéros.
Essaye de calculer pour 1000! et 10000! ce que ça donne.

ksavier a écrit:

le nombre de 0 dans (10^n)! est égal à la somme de  [latex]2^{n-2}\times(5^n-1)[/latex] et du nombre de 0 dans [latex]2^n![/latex]

Oui.

ksavier a écrit:

Pour n au moins égal à 2, on trouve dans le nombre [latex]M=10^n![/latex] exactement  [latex]2^{n-2}5^n-1[/latex] zéros.

Malheureusement pas. Le nombre de zéros de [latex]2^n![/latex] n'est pas [latex]2^{n-2}-1[/latex]. Des fois c'est moins. Par exemple pour [latex]n=6[/latex], le nombre de zéros de [latex]64![/latex] est [latex]12+2=14[/latex] et non [latex]15[/latex].

Je n'ai pas d'indice à donner pour factorielle gogolplex vu que j'y suis pas arrivé moi-même !

Voici cependant deux challenges qui me semblent intéressants à relever :

Calculer le nombre de zéros dans

1) 1 000 000 000!  de tête et sans aucun calcul compliqué.

2) gogol!

soit [latex]x[/latex] un nombre entier dont on veut calculer le nombre de zéros à la fin de sa factorielle [latex]x![/latex].
Ceci revient à calculer le nombre de [latex]5[/latex] dans la décomposition en facteurs premiers de [latex]x![/latex]. On considère en effet que le nombre de [latex]2[/latex] est plus grand ou égal à [latex]5[/latex].
Si on prend [latex]\left \lfloor \frac{x}{5} \right \rfloor[/latex] on compte une fois tous les facteurs 5 pour chaque multiple de 5 à partir de [latex]x[/latex] jusque [latex]1[/latex]. Mais il faut aussi compter le 5 des multiples de 25 soit [latex]\left \lfloor \frac{x}{25} \right \rfloor[/latex], puis ceux de 125 et ainsi de suite.
Le nombre de facteurs 5 dans [latex]x[/latex] est donné par:
[TeX]f(x)=\sum_{i=1}^{\infty }\left \lfloor \frac{x}{5^{i}} \right \rfloor[/TeX]
Cette somme converge car le terme tend vers 0, et la suite est bornée par [latex]\left \lceil \frac{x}{5} \right \rceil\left \lfloor \frac{x}{5} \right \rfloor[/latex].

Il nous faut calculer [latex]f(x)[/latex] pour [latex]x[/latex] sous la forme [latex]x=10^{n}[/latex].
[TeX]f(10^n)=\sum_{i=1}^{\infty }\left \lfloor \frac{10^n}{5^i} \right \rfloor=2^n\sum_{i=1}^{n}\left \lfloor \frac{5^n}{5^i} \right \rfloor=2^n\sum_{j=0}^{n-1}5^{j}[/TeX]
On va calculer [latex]S=\sum_{j=0}^{n-1}5^{j}[/latex] comme suit:
[TeX]2S = (2\sum_{j=0}^{n-1}5^{j})+5^n-5^n[/TeX]
[TeX]= 5^0+5^0+5^1+5^1+5^2+5^2+5^3+ \cdots +5^{n-1}+5^n-5^n[/TeX]
On regroupe...
[TeX]=5^0+(5^0+5^1)+(5^1+5^2)+(5^2+5^3)+\cdots +(5^{n-1}+5^n)-5^n[/TeX]
[TeX]=5^0+5^0(1+5)+5^1(1+5)+5^2(1+5)+ \cdots +5^{n-1}(1+5)-5^n[/TeX]
[TeX]=(1-5^n)+6(5^0+5^1+5^2+ \cdots +5^{n-1})[/TeX]
[TeX]=(1-5^n)+6S
[/TeX]
soit
[TeX]
S=\frac{5^n-1}{4}
[/TeX]
Et donc:
[TeX]f(10^n)=2^n\frac{(5^n-1)}{4}=2^{n-2}(5^n-1)[/TeX]
on remplace [latex]n[/latex] par [latex]10^{100}[/latex] pour la réponse.

Ah bon, il me semble avoir tout fait, mais faut-il aussi calculer les zéros à l'intérieur du nombre ? Par exemple pour 12!=479 001 600, doit-on compter comme s'il y avait 4 zéros ou seulement 2 ?

Oui c'est vrai j'ai fait des simplifications interdites, du coup c'est vachement plus dur. Je peux donner la réponse à 1 gogol près , par contre pour la réponse exacte je sais pas si j'ai les connaissances nécessaires.

herbert a écrit:

Oui c'est vrai j'ai fait des simplifications interdites, du coup c'est vachement plus dur.

On a visiblement fait le même calcul tous les deux, sauf que tu as oublié qu'il restait des parties entières non nulles pour i plus grand que n. On a le même résultat, et il est strictement inférieur à la réponse définitive.

Titou, peux-tu compiler nos réponses et donner le plus petit encadrement de la valeur attendue ?


PS : Herbert et Shadock, vous avez pourri la mise en page du forum avec vos formules à rallonge, merci d'utiliser la fonction de prévisualisation Herbert, c'est un Latex très simplifié qui est dispo, les sauts à la ligne fonctionnent mal et les inserts de texte dans les formules ne marchent pas très bien...