D'office, ça pue l'astuce gaussienne...



Partie de droite

Gauss enfant, d'après la légende, avait calculé la somme des entiers de 1 à 100 en remarquant :
$$1+100=2+99=3+98= \dots = 101$$
d'où une somme valant $50 \times 101 = 5050$.

Pareil ici, du moins pour n pair :
$$n! = (1 \times n) \times (2 \times (n-1)) \times \dots \times \left( \frac n2 \times \frac{n+1}2 \right)$$
D'après la fameuse inégalité utile, chacun de ces $\frac{n}{2}$ sous-produits est inférieur à $\left( \frac{n+1}2 \right)^2$, d'où :
$$n! \le \left( \frac{n+1}2 \right)^n$$
Avec n impair, le principe est le même, on laisse juste de côté le terme central de la factorielle, qui est $\frac{n+1}2$, et hop.



Partie de gauche

Je pars de la même décomposition par paires d'entiers (pour n pair), et constate que la fonction f définie par $f(x)=x(n+1-x)$ a pour dérivée $f'(x)=n+1-2x$, et donc est strictement croissante pour $x \le \frac{n+1}2$.

Par conséquent, chaque terme du produit, de la forme f(x) pour x entier entre 1 et $\frac n2$, est supérieur à $f(1) = n$. Il y a $\frac{n}{2}$ termes, donc :
$$n! \ge n^{\frac n2}$$
Si n est impair, cette technique permet d'obtenir, en formant $\frac{n-1}2$ paires et en laissant l'élément central tout seul :
$$n! \ge n^{\frac {n-1}2} \times \frac{n+1}{2}$$
Il suffit alors de montrer $\frac{n+1}{2} \ge \sqrt{n}$ soit $(n+1)^2 \ge 4 n$ soit $(n-1)^2 \ge 0$.

Un peu tôt pour lâcher ce genre d'indices, non ?

$$n!=\prod_{k=1}^{k=n} k n!=\bigg(\prod_{k=1}^{k=n} \sqrt{k}\bigg)^2 n!=\prod_{k=1}^{k=n} \sqrt{k}\cdot \sqrt{n+1-k} n!\leq \prod_{k=1}^{k=n} \frac{k+(n+1-k)}{2} n!\leq\big(\frac{n+1}{2}\big)^n$$
Pour la deuxième inégalité, on remarque que: $\forall a, b \in [1, +\infty[, a\cdot b \geq a+b-1$.
Et on recommence:
$$n!=\prod_{k=1}^{k=n} k n!=\sqrt{\prod_{k=1}^{k=n} k^2} n!=\sqrt{\prod_{k=1}^{k=n} k\cdot (n+1-k)} n!\geq \sqrt{\prod_{k=1}^{k=n} k+(n+1-k)-1} n!\geq \sqrt{n^n} n!\geq n^{\frac{n}{2}}$$

Pour un nombre pair
rac n!n! = rac (1*n)^2  rac(2*(n-2)¨^2 .... rac(n/2 (n/2 +1))^2
n! < (n+1 /2)^2 (n+1 /2)^2 .....n/2 fois
n! < (n+1)/2 ^n
pour un nombre impair
rac n!n! = rac (1*n)^2  rac(2*(n-2)¨^2 .... rac(n/2 +1)^2 pour un nombre pair
idem donc : n! < (n+1)/2 ^n

Pour la première partie, j'hésite à partir de n^n/2) =rac n^n... à voir.

Je ne crois pas avoir fait de pléonasme...
Quant à la finesse des inégalités, elle n'est pas si mal compte tenu des méthodes employées...

Bravo à tous.